[과외]고등 수학 삼각함수-4

목차

연습문제

본문내용

구하여라.
130. 의 값을 구하여라.
131. 다음 그림은 의 그래프이다. 의 값을 구하여라.
132. 오른쪽 그림에서 A, B, C, D는 지름이 1인 원 위의 점이고, 위의 점이다.
일 때, 의 길이를 구하면? [장충, 장충여]
① cos6°cos12°sec18°
② cos6°sin12°cosec18°
③ cos6°sin12°sec18°
④ sin6°sin12°cosec18°
⑤ sin6°sin12°sec18°
133. 직선으로 뻗은 길을 걷던 사람이 어떤 공장의 굴뚝을 바라본 각도가 30°였다. 10m를 더 가서 굴뚝을 바라본 각도는 45°였고, 다시 20m를 더 가서 굴뚝을 바라본 각도는 60°였다. 이 때, 이 굴뚝의 높이를 구하면? (단, 눈높이는 무시하기로 한다.)
① ② ③ ④ ⑤
134. 사각형 ABCD에 대하여 일 때 사각형의 넓이를 구하면?
① ② ③
④ ⑤
135. 오른쪽 그림은 삼각함수 의 그래프의 일부이다. 이 때, 이 함수의 주기를 T라 하자. 의 값을 구하여라. (단, 는 양수)
136. △ABC에서 가 성립할 때, 의 크기를 구하여라.
(단, )
137. △ABC의 세 변 에 대하여 인 관계가 성립할 때, ∠A의 최대값을 구하면? [장훈, 상계]
① 30° ② 60° ③ 90° ④ 120° ⑤ 150°
138. 정사각형 ABCD와 그 내부의 한 점 P에 대하여 일 때, 이 정사각형의 넓이를 구하면?
① 32 ② 34 ③ 36 ④ 38 ⑤ 40
139. 오른쪽 그림에서 A, B, H는 일직선 위의 점이다. A에서 산끝 P를 관측한 각이 30°, A에서 200m 떨어진 지점 B에서 P를 관측한 각이 45°일 때, 높이 PH의 길이를 구하면?
① ②
③ ④
⑤
140. A지점으로부터 서쪽으로 400km 떨어진 B지점에 태풍의 중심 P가 있다. 이 태풍이 시속 40km로 정북동 방향으로 직진하고 있으며, 그 중심에서 300km 이내의 지역은 태풍의 영향권에 속하게 된다고 한다. 이 때, A지점이 태풍의 영향권에 속하는 시간을 구하면? [한영여, 영훈]
① 2.5시간 ② 3시간 ③ 4시간
④ 4.5시간 ⑤ 5시간
101. ④
이고,
이므로
(준식)
102. ③
의 양변을 제곱하면
즉, 에서
그런데 이므로
㉡을 ㉠에 대입하면 ∴
103. ②
오른쪽 그림에서
∴
그런데 에서 의 그래프는 위로 볼록하므로
(단, 등호는 일 때 성립)
따라서, 이므로 구하는 최대값은 이다.
104. ②
주어진 그래프로부터
이므로
따라서
105. ⑤
에서 일 때,
그런데 이므로
을 대입하면
또, 의 진폭은 이므로 의 그래프는
두 직선 사이에 존재한다.
106.
에서
∴
이 때,
∴
즉, 이므로
∴
107.
일 때, 로 되고,
가정의 등식은 로 되므로 ∴
108.
(준식)
109. ③
인 상수로 놓으면
사인법칙으로부터
110. ③
각 에 대한 대변의 길이를 각각 라 하고, 이 삼각형의 외접원의
반지름의 길이를 라 하면
∴
이것을 주어진 식에 정리하면 따라서 각 가 직각인 직각삼각형이다.
111. ③
를 상수라 할 때 (단, )
을 하면
∴
㉠, ㉡, ㉢, ㉣로부터
∴
112.
제이코사인법칙으로부터
(단, 등호는 일 때 성립)
따라서 구하는 최소값은
113. ①
제이코사인법칙에서
㉠, ㉡에서
∴ ∴
114. ③
제이코사인법칙에 의하여
∴ ∴
115. ④
로 놓으면
㉠은 점 를 지나고 기울기가 인 직선이다.
한편, 에서
또, 에서
㉡, ㉢의 공통범위는 오른쪽 그림의 굵은 실선
부분이므로 의 값이 최소일 때는 ㉠이
을 지날 때이므로
∴
따라서, 구하는 최소값은 이다.
116. ④
이므로 ∴
에서
∴ ∴
따라서, 모든 의 값의 합은 이다.
117. ③
에서
∴
118.
∴ ∴
또,
∴ ∴
①, ②의 공통범위는
119.
양변을 제곱하면,
∴
이 때, 에서
∴
120
이 때, (준식)
121. ④
ㄱ. 사인법칙에 의하여 임의의 삼각형에 대하여 성립한다.
ㄴ. 사인법칙에 의하여 이므로
∴
따라서 이등변삼각형이다.
ㄷ. 나머지 한 변의 길이를 라고 하면 제이코사인법칙에 의하여
이므로
∴ 따라서 이등변삼각형이다.
ㄹ.
나머지 한 변의 길이를 라고 하면 제이코사인법칙에 의하여
∴
따라서 빗변이 인 임의의 직각삼각형에 대해서도 조건이 성립하므로
충분조건이 아니다.
122. ①
로 놓고
제이코사인법칙을 적용하면
한편, 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로
∴
따라서
∴
그러므로 의 최대값은 , 최소값은 이다.
따라서 구하는 값은
123. ⑤
∴ (∵ )
외접원의 반지름의 길이 가 이므로
또, 나머지 두 변의 길이를 각각 라 하면 넓이가 이므로
∴
따라서 세 변의 길이의 곱은
124. ③
에서
∴
125. ③
이므로 에서 사인법칙을 이용하면
∴
그런데
126. ③
에서
에서 제이코사인법칙을 이용하면
㉠, ㉡에서
127. ③
각의 이등분선에 대한 성질에서 일 때
라 하면
이므로
∴
㉠, ㉡에서 이므로
따라서, 가장 짧은 변은
128. ④
(단, ) 로 놓으면
∴
사인법칙에서
같은 방법으로,
∴
129.
라 하면, 에서 ∴
이 때, 에서 ∴
(ⅰ)
(ⅱ)
∴
130.
131.
가 되는 각을 이라 하면,
또, 가 되는 각을 이라 하면,
∴
∴
132. ③
이므로
이고, 사인법칙에서
∴
이므로
133. ③
오른쪽 그림에서
이 때, 라 하면
㉠, ㉡에서
∴ 따라서,
134. ⑤
위의 그림에서
∴
로 놓으면
∴
따라서,
135.
∴ ∴
이 때,
∴ ∴
136.
∴
이 때, ∴
137. ②
조건에서
따라서, 구하는 최대값은 이다.
138. ①
한 변의 길이를 , 라 하면
에서
에서
∴
즉, ∴
한편, 이면 ㉠에서 가 되어 모순이다. ∴
따라서, 구하는 정사각형의 넓이는 이다.
139. ②
∴
140. ⑤
시간 후의 태풍의 중심 의 위치는 오른쪽 그림과 같이
(km) 이다. 이 때, 지점이 태풍의 영향권에
속하려면
정리하면 ∴
따라서, 지점이 태풍의 영향권에 속해 있을 시간은
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