[과외]고등 수학 I-1.분수방정식

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본문내용

)-1}=0, f(x) ≠0
⇒ f(x)=g(x), f(x)=1, f(x) ≠0
그림에서 f(x)=g(x)인 x는 α, 0, β
f(x)=1인 x는 a,b, f(x)=0인 x는 α,0
∴준 방정식의 실근은 x= a, b, β
Ⅰ. 방 정 식
1. 분수방정식
4.Ans) ④
Sol)
구하는 배의 속력을 x㎞/시 라 하면 강물을 따라 내려올 때와 거슬러 올라갈 때의 속력은 각각 (x+1)㎞/시 , (x-1)㎞/시 .
따라서 왕복하는데 걸린 시간은
(4시간 30분)
⇒ 40(x-1)+40(x+1)=9)x+1)(x-1)
⇒ 9x²-80x-9=0
⇒ (9x+1)(x-9)=0
∴ x=9 (∵x>0)
5.Ans) ④
Sol)
⇔ {f(x)}³+f(x){g(x)}²=2{f(x)}²g(x),
g(x)≠0
⇔ f(x){f(x)-g(x)}²=0, g(x)≠0
⇔ f(x)=0 또는 f(x)=g(x) (g(x)≠0)
따라서, 구하는 분수방정식의 해집합은
{ b, c, e, f}
6.Ans) ④
Sol)
준식:
⇒ x²-x-1=2x²-3, x≠1, x≠2
⇒ x²-x-2=0, x≠1, x≠2
⇒ (x+1)(x-2)=0, x≠1, x≠2
∴ x= -1
7.Ans) ④
Sol)
준식 :
⇒ x²-1=3(x-1), x≠±1
⇒ x²-3x+2 =0, x≠±1
⇒ (x-1)(x-2)=0, x≠±1
∴ x=2
Ⅰ. 방 정 식
1. 분수방정식
8.Ans) ④
Sol)
준식:
⇒
⇒ (a+2)x+a-4=0, x≠±1, x≠2
⇒ x=, x≠±1, x≠2
준방정식이 근이 존재하지 않는 경우는 근이 불능이거나 무연근일 때 이므로
(ⅰ) x가 불능일 때,
a=-2
(ⅱ) x가 무연근일 때
= -1, 1, 2
⇒ a= 0,1
∴ a= -2, 0, 1
9.Ans)①
Sol)
일의 총량을 M이라 하면 A, B, D가 하루에 하는 일의 양은 각각, ,,.
세 사람이 공동으로 일할 때 하루에 하는 일의 양이 이므로
++.=
⇒=- =
⇒ 2x(x+6) = (x+15)(-x+6)
⇒ x²+7x-30 = 0
⇒ (x-3)(x+10)=0
⇒ x=3 (∵ x>0)
∴x+6=9(일)
10.Ans)②
Sol)
++=0
⇒
=0
⇒ (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0
⇒ 3x²-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 … ㉠
x=a, x=b, x=c는 ㉠의 근이 아니므로 준 분수방정식의 해와 ㉠의 해는 모두 같다.
㉠의 판별식의 부호를 알아보면
D/4 = (a+b+c)²-3(ab+bc+ca)
= a²+b²+c²-ab-bc-ca
= {(a-b}²+(b-c)²+(c-a)²} >0
(∵ a, b, c는 서로 다른 실수)
∴ 서로 다른 두 실근을 갖는다.
Ⅰ. 방 정 식
1. 분수방정식
11.Ans) ④
Sol)
를 구하므로 이 포함된 분수만 이항분리를 시켜본다.
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)
(ⅳ)
=-(-)(-)(-) =
12.Ans) -, 0
Sol)
⇒
⇒ x²-2x-2a=0 …㉠
(ⅰ) ㉠이 무연근이 아닌 중근을 가질 때.
D/4 = 1+2a = 0
⇒ a= -
이 때 ㉠은 (x-1)²=0
x=1은 무연근이 아니다.
(ⅱ) ㉠의 한근이 x=0(무연근)일 때
a=0 이고 ㉠은 x²-2x=0
∴ x=2 만 근이다.
(ⅲ) ㉠의 한 근이 x=-a(무연근)일 때
a=0 이고 ㉠에서 x²-2x=0
∴ x=2 만 근이다.
따라서 a= -, 0
Ⅰ. 방 정 식
1. 분수방정식
13.Ans) ②
Sol)
준식의 양변에 (x+a-k)(x+b-k)를 곱하여 정리하면
x²-2kx+k²-ab=0 …㉠
두 실근을 α,β라 하면,
α+β=0, αβ<0 이고
x+a-k=0와 x+b-k=0의 근이 아니어야 한다.
따라서,
(ⅰ) D/4 = k²-(k²-ab) >0 ⇒ ab >0
… ㉡
(ⅱ) α+β= 2k =0 ⇒ k=0 … ㉢
(ⅲ) αβ= k²-ab < 0 ⇒ k²< ab … ㉣
(ⅳ) x=k-a, k-b가 ㉠의 근이 아니어야 하므로
(k-a)²-2k(k-a)+k²-ab ≠ 0
⇒ a≠b … ㉤
∴ ㉡, ㉢, ㉣, ㉤에서 k=0, ab>0, a≠b
14.Ans) ③
Sol)
(ff)(x) = f(f(x)) =
∴ 준식 :
⇒ x²+x +1 =0
이 방정식의 두 근은 무연근이 아니므로 준 방정식의 두 근과 같다.
따라서 두 근의 곱은 1
15.Ans) x= -4
Sol)
준식:
⇒ + = +
⇒ - = -
⇒ =
⇒ (x+3)(x+7) = (x+5)(x+1)
⇒ x = -4
이것은 무연근이 아니므로 준방정식의 해이다.

키워드

다항함수,   삼차함수,   방정식,   준식