[과외]고등 수학 I-2.무리방정식

목차

무리방정식 문제 1~20

본문내용

㉡에서 k= or k > 1
2.Ans) ①
Sol)
= 8-x
⇒ 5x + 10 = (8-x)²
⇒ x²-21x+54 = 0
⇒ (x-3)(x-18) = 0
⇒ x= 3, 18
x=18은 준식을 만족하지 않는 무연근
∴ x=3
3.Ans) ③
Sol)
{ⅰ} f(x)-g(x) = 0 ⇔ f(x)=g(x) 의 근은
x = a, c, e
(ⅱ) -=0 ⇔ =
⇔ f(x) = g(x), f(x)≥0, g(x)≥0 의 근은
x= a,e
∴ x=c는 -=0 의 근이 아니다.
4.Ans) ④
Sol)
x²-2x-2=t라 하면
준식: t-3 = 2
⇒ (t-3)²= 4t
⇒ t²-10t+P = 0
⇒ t=1 or t=P
t=1은 무연근이므로 t=9
∴ x²-2x-2= P
⇒ x²-2x-11 = 0
∴근의 곱은 -11
Ⅰ. 방 정 식
1. 무리방정식
5.Ans) ③
Sol)
= t(t≥0)라 하면 1-2t = 3t²
3t²+2t-1 = 0
(3t-1)(t+1) = 0
∴ t = (∵ t≥0)
따라서 =이므로 cosx =
y= cos x의 그래프는 직선 y=π에 대하여 대칭이므로 위의 그림과 같이 방정식 cosx=의 두 근을 π-k, π+k (k는 실수)로 놓을 수 있다.
따라서 실근의 합은 (π-k)+(π+k) = 2π
6.Ans) ③
Sol)
2f(x)-3 = ············ ㉠
양변을 제곱하여 정리하면
4{f(x)}²-13f(x)+ 9= 0
{4f(x)-9}{f(x)-1}=0
∴ f(x) = , f(x)=1
㉠에서 f(x)≥ 이므로 f(x)=
따라서, 주어진 그래프에서 y=f(x)와 y=의 교점의 개수는 3개이다.
7.Ans) ③
Sol)
f(x) 라 놓으면
(ⅰ) x≥4 일 때
(ⅱ) 4>x≥0 일 때
따라서 k=3 일 때, 실근은 무수히 많이 존재한다.
Ⅰ. 방 정 식
1. 무리방정식
8.Ans) ①
Sol)
이라 하면
t+1= t²-1
∴ t²-t-2 = 0, (t-2)(t+1)= 0
∴ t=2 (∵ t≥ 1)
에서
∴
∴ f(x)=3 또는 -3
그림에서 f(x)=3을 만족하는 x의 값은 2개 있고, 두 근은 2-k, 2+k (k는 0이 아닌 실수) 꼴이다. 또, f(x)= -3을 만족하는 x의 값은 2이므로 구하는 서로 다른 실근의 합은
(2+k)+(2-k)+2=6 이다.
9.Ans) ①
Sol)
y= 의 그래프를 그리면 다음과 같다.
위의 그림에서 m=일 때 3번째, 4번째 사분원과의 교점 이외에도 점(2, 1)과의 교점까지 근의 개수는 3개이다.
10.Ans) ④
Sol)
x = 2t- ······ ㉠
= 2t+ ············㉡ (∵ y=)
㉠×㉡ : 3x = 4t²-(4t²-3) = 3
∴ x=1
11.Ans) ②
Sol)
=x 에서
2-x≥0, x≥0
∴ 0≤x≤2
준식의 양변을 제곱하면,
1+ = x²
⇒ x²-1 = =
따라서 0≤x≤2에서 y=x²-1 과 y=의 그래프는 교점이 한 개
∴ 준방정식의 실근은 한 개
Ⅰ. 방 정 식
1. 무리방정식
12.Ans) ④
Sol)
= x+1에서
2x²-1≥0, x+1≥0
∴ -1≤x≤-, x≥
준식의 양변을 제곱하면
2x²-1 = (x+1)²
⇒ x²-2x -2 = 0
이 방정식 두 근 (1±)은 무연근이 아니다.
∴ α+β=2, αβ= -2
∴
= -4
13.Ans) ③
Sol)
에서 0≤x≤4
y=ax+2에서 a는 y절편이 2인 직선의 기울기이다.
y=와 y=ax+2가 0≤x≤4에서 서로다른 두 개의 교점을 가지면 되므로 그림에서
-≤a< 0
14.Ans) ⑤
Sol)
A=, B=라 하면
A-B = 3 ·········㉠
A³-B³ = (A-B)³- 3AB(A-B) 이므로
(x+9)=(x-9) = 3³-9AB (㉠에서)
⇒ AB=1
⇒ =1
⇒ (x+9)(x-9) = 1
⇒ x² = 82
∴ α²= 82
15.Ans) ④
Sol)
에서 x≥1
y=x+k에서 k는 기울기 1인 직선의 y절편.
y=과 y=x+k가 x≥1에서 서로 다른 두 개의 교점을 가지면 되므로
그림에서 “ y=과 y=x+k가 접할 때와 y=x+k가 (1,0)을 지날 때” 의 사이 구간을 구하면 된다.
Ⅰ. 방 정 식
1. 무리방정식
= x+k
⇒ x-1 = (x+k)²
⇒ x²+(2k-1)x+k²+1 = 0
D=(2k-1)²-4(k²+1)= 0
⇒ k= -
∴ -1≤k≤-
16.Ans) ②
Sol)
에서 x≥3
y=mx+1에서 m은 y절편이 1인 직선의 기울기
=mx+1
⇒ x-3 = (mx+1)²
⇒ m²x²+(2m-1)x+4=0
D=(2m-1)²-16m²=0
⇒ 12m²+4m-1= 0
⇒ (6m-1)(2m+1)= 0
⇒ m= (∵ m > 0)
그림에서 실근의 개수는
17.Ans) 6 or 15
Sol)
= x 라 두면, = 21-x
=
(∴²=²+²)
=
(∴ ²=²+²)
따라서, +=27에서
+ = 27 ····· ①
= 27-
양변을 제곱하면
(21-x)²+64 = 27²-54+ x²+ 64
정리하면,
7x+48 = 9
다시 양변을 제곱하여 정리하면
x²-21x+90=0
(x-6)(x-15) = 0
∴ x=6 or 15
Ⅰ. 방 정 식
1. 무리방정식
18.Ans) 2개
Sol)
(x²-1)³= (x+2)의 식을 변형하면
(x²-1)³= ()³
즉 x²-1=
y = x²-1 ····· ①
y = ····· ②
①과 ②의 그래프를 그리면 다음과 같다.
두 그래프 y=x²-1과 y= 의 교점은 위의 그림에서 2개이다.
19.Ans) ④
Sol)
- = 2
⇒ = + 2
⇒ 5-x = x+7+4
⇒ x+1 = -2
⇒ (x+1)²= 4(3+x)
⇒ x²-2x-11 = 0
⇒ x= 1±2
(ⅰ) x= 1+2일 때
(준식의 좌변) =
= (-1)-(+1)
= -2 ≠ (우변)
(ⅱ) x= 1-2일 때
(준식의 좌변) =
= +1-(+1)
= 2 = (우변)
∴ 근은 1-2
∴ a=1, b=-2
20.Ans)③
Sol)
(준식) : = 1-
⇒ x- = x+1-2
⇒ = 2 - 1
⇒ 1-x = 4x+1-4
⇒ 5x - 4 = 0
⇒ (5-4) = 0
⇒ = 0 or =
x=0 은 무연근
∴ =
∴ =

키워드

실근,   함수,   방정식,   삼차함수,   실수