[과외]고등 수학 w해답편

본문내용

( - sqrt{3}over2 RIGHT )
=13
따라서, 사용된 실의 최소 길이는
barMA'` =sqrt{13}
14. 제이코사인법칙에서
a^2 =b^2 +c^2 -2bc cosA
∴
cosA = {b^2 +c^2 -a^2 } over2bc
sin^2 A
={(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)}over{4b^2 c^2}
에서
sin^2 A={2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}over{4b^2 c^2}
={4s(s-a)(s-b)(s-c)}over{b^2 c^2}
sinA={2sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}over{bc}
∴
S= 1over2 bc sinA
=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
이다.
①
15. [수학적 개념 이해·표현]
ANGLE ABP=theta,~ ANGLE PBC=pi-theta
로 놓자.
TRIANGLE ABP와~ TRIANGLE PBC
에서 제이코사인법칙에 의하여
costheta={1^2 +2^2 -a^2}over{2cdot1cdot2}
cos(pi-theta)={2^2 +2^2 -c^2}over{2cdot2cdot2}
그런데
cos(pi-theta)=-costheta
이므로
{1^2 +2^2 -a^2}over{2cdot1cdot2}={2^2 +2^2 -c^2}over{2cdot2cdot2}
{5-a^2}over{1}={8-c^2}over{2}
10-2a^2 = -8 +c^2
∴
2a^2 +c^2 =18
16. [이해 능력]
트럭이 움직인 거리를
x
라 하면 승용차가 움직인 거리는
2x
이므로
barBC`^2 =(1000-x)^2 +(2x)^2
-2cdot (1000-x) cdot 2x cdot cos60DEG
=7x^2 -4000x +1000000
따라서,
x= 4000 over 2cdot7 = 2000over7
일 때, 트럭과 승용차 사이의 거리가 최소가 된다.
17. [주관식]
sin
법칙에서
sintheta over n = sin2theta over n+2 = {2sinthetacostheta }over n+2
∴
costheta= n+2 over 2n
cos
법칙에서
costheta = {(n+1)^2 +(n+2)^2 -n^2}over{2(n+1)(n+2)}
={(n+1)(n+5)}over{{2(n+1)(n+2)}}
= n+5 over 2(n+2)
n+2 over 2n = n+5 over 2(n+2) , ~n=4
∴
costheta = 3over4 =0.75
0.75
18.
ANGLE POQ=theta
라 놓으면
TRIANGLE OPQ = 1over2 alpha^2 sintheta
0<=sintheta<=1
이므로
TRIANGLE OPQ <= 1over2 alpha^2
따라서, 삼각형
OPQ
의 넓이는
theta = pi over 2
즉, 직각삼각형일 때
1over2 alpha^2
으로 최대이다.
③
19.
①
20. 구하는 다각형은 한 변의 길이가
2-sqrt{2}
이고, 한 내각의 크기가
135DEG
인 정다각형이다.
한편,
n
각형의 내각의 합은
(n-2) cdot 180DEG = n cdot 135DEG~이므로~n=8
따라서 구하는 다각형은 한 변의 길이가
2-sqrt{2}
인 정팔각형이다.
한편 아래 그림의
TRIANGLE OP_1 P_2
에서 제이코사인법칙에 이하여
x^2 + x^2 -2x^2 cos pi over4 =(2-sqrt{2})^2
(2-sqrt{2})x^2 =(2-sqrt{2})^2
따라서
TRIANGLE OP_1 P_2
의 넓이는
s= 1over2 x^2 sin piover4 = sqrt{2} over4 x^2
그러므로 구하는 다각형의 넓이는
S=8s=2sqrt{2}x^2 = 2sqrt{2}(2-sqrt{2})
=4(sqrt{2}-1)
④
21. [표현 능력]
barBD`=barCD
이므로
TRIANGLE ABD= TRIANGLE ACD
이고
TRIANGLE ABD= 1over2 barAB` cdot barAD` sintheta = 2barAD`sintheta
TRIANGLE ACD= 1over2 barAB` cdot barAD` sin left(pi over2 -theta right)
= 3over2 barAD`costheta
2barAD`sintheta= 3over2 barAD`costheta
에서
tantheta = 3over4
[별해]
빗변
barBC`
의 중점
D
는
TRIANGLE ABC
의 외심이므로
barAD`=barBD`=barDC`
∴
ANGLE ABD= ANGLE BAD=theta
따라서, 직각삼각형
ABC
에서
tantheta = 3over4
22. [주관식] 헤론의 공식에서
S=sqrt{ 15over2 cdot 1over2 cdot 5over2 cdot 9over2}
= 15over4 sqrt{3}
외접원의 반지름
R
은
R= abc over 4S = {3cdot5cdot7} over {15sqrt{3}} = 7over sqrt{3}
내접원의 반지름
r
은
r= 2S over a+b+c = sqrt{3} over2
∴ 외접원의 넓이:
pi LEFT ( 7over sqrt{3} RIGHT ) ^2 = 49over3 pi
내접원의 넓이:
pi LEFT ( sqrt{3} over2 RIGHT ) ^2 = 3over4 pi
∴
a+b= 49over3 + 3over4 = 205over12 = 17 1over12
[a+b]=17
17
23.
a~:~b~:~c=sinA~:~sinB~:~sinC=2~:~4~:~3
∴
a=2k,~b=4k,~c=3k
∴
cosA ={b^2 +c^2 -a^2}over{2bc}= 7over8
∴
sinA=sqrt{1-cos^2 A}= sqrt{15} over8
∴
sin(B+C)=sin(pi-A)=sinA= sqrt{15}over8
⑤
24. [이해 능력]
ANGLE C=180DEG -(85DEG+65DEG)=30DEG
사인법칙에 의하여
400 over sin30DEG = {barAC`} over sin65DEG
∴
barAC`=800sin65DEG

키워드

집합,   함수,   원소,   명제