[수학사]수학사 요약

목차

1. 초기의 수학(～B.C 1000)
2. 그리스 수학-논증 수학의 탄생
3. 인도와 아라비아 수학
4. 6세기에서 16세기까지의 유럽 수학
5. 17세기의 수학-근대 수학의 여명기(미적분학의 발견, 해석 기하학 창시 로그의 도입)
6. 18세기의 수학-미적분학의 발전.(삼각법, 해석기하학, 정수론, 방정식론, 확률론, 미분방정식의 발전, 형식주의의 추 구)
7. 19세기 초반의 수학-기하학, 대수학의 발전과 해방(비유클 리드 기하학의 탄생, 새 대수적 구소 의 출현)

본문내용

로 방정식론에 근본적인 개혁을 가져온 대수학 자. 군(group)이란 용어의 최초 사용. 군론의 창시자. 아벨의 가환군 의 개념을 이용하여 5차이상의 대수방정식이 근의 공식을 가질 수 없음을 증명.
갈로아이론에 의해 임의의 각의 3등분 문제, 입방배적문제가 자사 콤 파스만으로 작도되지 않는 이유와 정 n각형이 자사 콤파스로 작도 되기 위한 필요충분조건을 설명.
(6)디리클레-연속성과 함수의 현대적 정의를 최초로 함. 해석적 정수론의 창 시(가우스의 소수 정리 연구) 한 함수의 푸리에 급수가 수렴하기 위한 조건의 연구.
(7)비유클리드 기하학- 유클리드의 평행선의 공리를 부정하는 기하학
①사케리-유클리드의 평행선의 공리를 증명하려 했으나 실패(비유클리드 기 학 탄생의 한 계기)
②로바체프스키, 보요이-쌍곡선형 비 유클리드 기하학의 창시(무수히 많은 평 행선이 존재)
③리만-타원형 비 유클리드 기하학의 창시(평행선은 존재하지 않는다)
리이만 적분의 개념 확립. 다양체의 개념 최초 도입.
(8)새로운 대수적 구조의 출현-기존의 산술대수의 5가지 공준을 만족하지 않 는 대수적 구조의 도입
①해밀턴의 사원수 - 실수의 4중 순서수( a,b,c,d
)로서 곱셈의 교환법칙 불 성립. 최초의 비가환애수
②그라스만의 다윈수-실수의 n중 순서수( x_1,て~て~て, x_n
). 많은 다른 대수가 존재
③캐일리의 행렬대수- 교환법칙의 불성립
④조르당 대수. 리이 대수-결합법칙의 불성립
⑤모노이드, 군, 환, 정역, 속, 부울환, 부2울대수, 체, 벡터공간 등의 새로운 대수적 구조의 탄생.
8. 19세기 후반의 수학-직관주의에의 경고. 수학의 엄밀성 확 립. 해석학의 산술화(실수제의 연구)
(1)3대각도 불능문제의 해결-해석기하학의 도움.
①원적문제-작도 가능한 구는 대수적인수(완첼)이나 pi
는 초월수임을 린데만 이 증명, 해결
②입방배적문제. 임의의 각의 3등분 문제-갈로아 이론으로 해결
(2)퐁슬레-사영기하학의 확립. 쌍대의 원리와 연속의 원리
(3)플뤼커-해석기하학의 방법의 발전에 지대한 공헌, 단축표기법. 3차곡선의 완 전한 분류
(4)클라인-에를랑겐 프로그램. 모든 기하학의 통일을 시도(공간의 변환군에 의 해 불변인 성질 연구)
(*)케일리, 벨트라미, 클라인, 프왕카레-유클리드 기하학안에서 비유클리드 기하학의 모형을 만듬으로써 비유클리드 기하학을 유클리드 공간 속의 특수한 곡면 위에서의 기하학으로 해석.
(5)해석학의 산술화-극한, 연속성. 미분가능성에 관한 이론이 숨겨진 실수계에 의해 좌우된다는 사실인식. 따라서 실수계 자체가 엄밀 하게 정의되어야 하고 모든 해석학의 기초 개념이 이 수 체계로 부터 유도되어야 한다고 주창하는 프로그램.
(역사) 달랑베르(극한이론의 필요성제기)→라그랑즈(해석 학의 직관론과 형식론의 제거 시도) →가우스(무한급수의 수렴성 최초로 고찰)→코시(연속. 미분가능. 정적분을 극 한개념으로 정의)→바이어슈트라스(도함수를 가리지 않는 연속함수의 발견, 해석학의 산술화 주창)
(6)바이어 슈크라스-해석학의 산술화라는 프로그램 주창. 무리수의 이론, 평 등수렴의 발견. 사칙의 공리를 만족하는 가장 일반적인수 가 복소수임을 증명. 도함수를 가리지 않는 연속함수 ( f(x)=sum fromn=0 to ∞`` b_n`` cos`(a^n` x`` pi)
, a>1
인 홀수. b<1
)의 최초 발견. 멱급수를 이용한 복소수함수론에의 공헌(복소평면 의 엄밀한 완성)
(7)데데킨트-절단(cut)의 개념으로 실수를 정의함. 대수학에서의 이데알 개념 창시
(8)칸토르-집합론과 무한이론의 창시자. 무리수론 연구. 해석학의 기초에 관 심제고. 푸리에 급수의 계수의 일의성에 관한 연구에서 실수란 무 엇인가란 문제제기. 실수를 유리수들의 코오시 수열의 극한으로 정 의.(실수의 완비성의 공리) 무한을 수학적 대상화 (무한개수 의 도 입. 계산법 발견)
(9)크로네커-칸토르의 무한이론을 신학으로 간주하여 비난. 방정식론. 대수적 수론에 기여
(10)프왕카레-대수적 위상수학의 창시자. 미분방정식론, 확률론등 수학의 모든 분야에서 업적. (곡면이나 다면체의 위상적 성질 연구)
(11)네더(Noether)-여성수학자. 소거이론과 불변량이론에의 연구(대수학에의 공헌)
9. 20세기와 수학의 추상화-주제에 관한 논리적 기초와 구조 의 검증(공리론 탄생. 집합론의 모순성에 관한 연구. 추상 공간의 발견(프레세). 수학의 방법론 연구)

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