수학사(고대,근대,현대) 정리

목차

고대수학사
①오리엔트 수학
②그리스 수학
③소피스트 학파
④알렉산드리아 학파
⑤유클리드 이후의 그리스 수학
⑥바빌로니아 수학
⑦피타고라스 학파
⑧플라톤 학파
⑨유클리드의 <원론>
근대수학사
(10세기~19세기수학)
현대수학사

본문내용

철학자 데카르트는 해석기하학의 창시자로서의 불후의 이름을 남기고 있다. 기하학을 대수학과 결부시켜서 대수학적 방법을 창설하였다. 이것은 라이프니츠의 미적분의 발견에 영향을 끼치고 있다고 보고 있다. 뉴턴과 라이프니츠는 각각 독립적으로 미적분학을 창시하여 근대해석학의 발단을 열었다. 수백 년 동안 진전이 없었던 수학이 급속히 진보하여 근대해석학의 발단을 열었다. 기하학·대수학의 세계에서 해석학(解析學)으로 비약하여 물리학에도 큰 영향을 끼쳤다. 뉴턴은 1671년 미적분학을 체계화하였다. 우주의 중력(重力)의 법칙의 발견, 빛의 입자설(粒子說) 등 찬란한 업적을 남겼다. 저서 《프린키피아：Philosophiae Naturalis Principia Mathematical》는 1687년 간행되었다. 후에 라이프니츠와 뉴턴은 미적분학의 창설을 둘러싸고 많은 논쟁이 있었으나 결국 양자는 각각 독립으로 그 업적을 이루었다는 것이 해명되었다. 라이프니츠는 수학의 기호화(記號化)에도 큰 공적을 남겼다. 현재의 미적분학 기호는 그에 힘입은 바가 크다. 법률학·철학에도 큰 업적을 남겼다.
【18세기의 수학】
18세기는 17세기에 창설된 해석학의 발전 시대였다. 스위스의 베르누이 일가와 프랑스의 수학자들의 활약이 눈부시다. 베르누이 일가의 업적과 함께 스위스의 L.오일러의 수많은 독창력이 해석학의 면목을 일신시켰다. 또 이탈리아에서 살고 있던 프랑스인 J.L.라그랑주는 오일러와 더불어 변분학(變分學)을 만들었다. 해석학에 크게 공헌한 P.S.라플라스, 화법기하학(畵法幾何學)을 창시한 P.G.몽주도 이 시대의 사람들이었다.
【19세기의 수학】
17세기를 새로운 수학의 창설의 시대, 18세기를 그의 발전의 시대라고 한다면 19세기는 현대에 이어지는 충실과 창설이 또다시 계속되는 시대라 할 수 있다. 이 세기는 대체로 모든 과학이 완성의 단계를 향하여 달린 시대라 하겠다. 수학에서 18세기는 프랑스인들의 활약이 큰 데 비하여 19세기에 들어와서는 독일사람들이 놀랄 만한 진전을 보여주었다. J.K.F.가우스를 비롯하여 K.바이어슈트라스, G.F.B.리만, J.W.R.데데킨트, G.칸토어, F.클라인, D.힐베르트 등이 현대 수학의 건설에 큰 소임을 담당하였다. 가우스의 정수론(整數論)을 비롯하여 많은 분야의 연구, 프랑스의 A.L.코시의 해석학의 연구, 헝가리의 J.보여이의 비유클리드기하학의 연구, 노르웨이의 N.H.아벨의 대수학과 해석학에 대한 공헌, 프랑스의 E.갈루아의 방정식론·군론(群論)에서의 업적, 바이어슈트라스, 리만의 해석학, 리만 기하학의 창시 등이 이 19세기 수학의 핵심부분이라고 할 수 있다.
현대수학사
20세기 수학연구의 많은 부분은 주제의 논리적 기초와 구조를 검증하는 데 전념되어 왔다. 이것은 점차 공리론(axiomatics) 즉 공준집합과 그것들의 성질에 관한 연구를 탄생시켰다. 많은 수학의 기본 개념이 눈부시게 발전되고 일반화되었으며, 집합론, 추상대수, 위상수학 같은 순전히 기본적인 분야가 광범위하게 발달되었다. 일반집합론은 까다로운 논증을 요구하는 약간 심오하고 혼란스런 역설에 부딪혔다. 그래서 주어진 가정으로부터 결론을 얻어내는 데 수학에서 사용하는 장치인 논리 자체를 면밀히 검토하게 되었으며, 마침내 수리논리가 등장하였다. 논리와 철학 사이의 유대는 현대의 다양한 수리철학의 주요 학파로 발전하였다. 그리고 20세기의 컴퓨터 혁명 또한 수학의 많은 분야에 깊은 영향을 끼쳤다
【위상수학(Topology) 】
수학 여러 분야를 통합하는 학문으로 20세기에 그 위치를 확보하였다. 위치와 형상의 학문이라는 뜻에서 위상, 위상수학, 위상기하학이라 명명되었다. 기하학적 성질 가운데 도형의 연속적 변형에 의해서 변화를 받지 않는 것에 관한 연구로, 오일러의 다면체론에서 출발, 포앙카레의 대수적 토폴로지, 브로워의 부동점 정리(fixed point theorem)를 통해 정립되어 갔다. 위상기하학(topology)은 공간의 위상적 성질을 구체적으로 연구하는 수학의 한 분야. 공간의 1대1, 연속 그리고 그 역도 연속인 사상에 대하여도 불변인 성질, 즉 위상적 성질을 연구하는 기하학이다. 이를테면 구면과 위상동형인 2차원 폐다면체의 꼭지점의 수 Ｖ, 변의 수 E, 면의 수 F사이에는 V-E+F=2라는 관계가 성립한다는 오일러의 정리는 전형적인 문제인데, 이는 위상기하학의 출발점이 되었다. 이 밖에 이른바 한붓그리기의 문제를 포함하는 이론을 비롯하여 여러 이론이 알려져 있다. 그러나, 수학의 추상화에 따라서 그 대상도 구체적인 공간에서 추상적인 공간에까지 확장되었다. 이와 같이 추상공간을 위상공간이라고 하며, 위상적 방법과 대수적 방법을 병용함으로써 수학해석처리를 하는 부분이 탄생하게 되었다. 이러한 방법에 의한 수학, 즉 위상기하학을 비롯하여 위상공간론·위상해석학 등이 위상수학의 대종을 이루고 있다. 이상과 같이 위상기하학은 20세기 수학의 특징이 대역적인 성격을 단적으로 나타내고 있다는 의미에서 현대수학을 대표하는 것으로서 다른 여러 분야에도 큰 영향을 미치면서 더욱 다채로운 차원으로 발전하고 있다
【집합론의 모순】
칸토어의 일반적인 집합론의 기초에 관한 역설 또는 모순이 발견되면서 수학의 기초가 위기를 맞게 되었다. 수학의 많은 부분을 집합론이 지배하고 있기 때문에 집합론에서 역설이 출현한다는 것은 자연스럽게 수학의 전반적인 기본 구조의 타당성에 대하여 의문을 제기 하는 것이다. 러셀은 1902년에 다음과 같은 집합 그 자체에만 관계되는 역설을 발견하였다. 1919년 러셀 자신에 의하여 자기 스스로 면도하지 않는 사람들만 면도해 준다고 말한 어떤 이발사에 관한 이야기로 알려졌다. 이 이야기의 역설적 특성은 "이발사는 스스로 면도하는가?" 라는 물음에 답을 하려고 할 때 나타난다. 만일 그가 스스로 면도를 한다면 자신의 주장과 일치하지 않으며, 그가 스스로 면도하지 않는다면 그는 자신의 주장에 따라야 한다.집합론의 역설을 해결하기 위한 한 시도는 논리에서의 문제점을 찾아내는 것이며, 아무튼 일반적인 집합론에서의 역설의 발견이 논리의 기초를 철저하게 고찰하도록 만들었다.

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