응용 역학 기본 핵심 이론 정리 2장 단면의 성질 (기본 문제 포함)

본문내용

서부터 미소 면적의 도심까지의 거리를 각각 곱하여, 전체 단면에 대해 적분한 값을 단면 상승 모멘트라고 한다.
단면 상승모멘트는 다음과 같이 표현된다.
대칭단면일 경우,
KeyPoint)
대칭단면이고, x, y 두 축중에서 한축이 대칭축일때, , 다음과 같은 경우 모두 단면상승모멘트는 0이 된다.
단면 상승 모멘트 계산 예)
위 직사각형 단면의 x, y축에 대한 단면 상승모멘트를 구하면,
만약 직사각형 단면의 도심에 대한 단면 상승모멘트를 구하면,
<<기본문제 2>> 그림과 같은 단면의 x, y축에 대한 단면 상승 모멘트를 구하라.
풀이:
위 도형을 세 부분으로 분할하여 각각의 분할된 도형에 대한 단면상승모멘트를 구하여 합하면 전체 도형의 단면 상승모멘트를 구할 수 있다.
즉,
따라서, 단면 전체의 x, y축에 대한 단면 상승 모멘트는
2. 도심과 중심
임의의 직교하는 두 축에 대한 단면 1차모멘트가 0일때, 이 직각 좌표축의 원점을 단면의 도심이라 한다. 단면에 분포한 질량이 균등하다면, 도심과 중심은 동일하다.
KeyPoint) 다음과 같은 도형의 도심은 수학적으로 계산하지 않아도 이미 잘 알고 있는 것들이다.
단순하지 않은 모양을 갖는 도형의 도심은 위에서 이미 알고 있는 값을 적용할 수 있도록 단면을 쪼개서 계산한다.
예)
위 도형의 도심을 구하면,
먼저 두개의 직사각형으로 위 도형을 나눌 수 있다.
그 다음 X-X와 같이 기준선을 설정한다. 그리고 기준선 X-X에 대한 단면 1차 모멘트를 계산한다.
공식을 적용하면,
따라서, X-X 기준선으로부터 위 도형의 y 방향 도심축 거리는 d가 된다.
위 도형의 x 방향 도심축을 위와 같은 방법으로 각자 계산해보시오.
<<기본문제 1>> 다음 도형의 도심을 구하라.
위 단면을 다음과 같이 2개의 직사각형과 1개의 삼각형으로 분할하여, 다음과 같이 생각한다.
, (왼쪽 최외측 기준)
(아래 밑변 기준)
,
, 이므로,
<몇 가지 다양한 도형들의 도심>
(1) 반원과 사분원의 도심은 이다.
(2) 다음 도형에서는 빗금친 부분의 도형에 대한 도심을 나타내고 있다.
3. 단면 2차 모멘트 및 단면 계수
(1) 기준 축(x축 혹은 y축)에서부터 미소 면적의 도심까지의 거리를 제곱하여, 전체 단면에 대해 적분한 값을 단면 2차 모멘트라고 한다.
= (도심에 대한 I) + (면적) × (도심까지의 거리)2
여기서, 는 도형의 도심축에 대한 단면 2차 모멘트이다.
KeyPoint)
다음과 같은 도형의 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 수학적으로 계산하지 않아도 이미 잘 알고 있는 것들이다.
원형단면:
삼각형단면:
직사각형단면:
만약 위 도형들의 단면 2차 모멘트를 단면 도심이 아닌 밑변 축(그림에서 X'-X'축)에 대한 단면 2차 모멘트를 구하기 위해서는 평행축 이동정리를 적용하면 된다.
먼저 원형단면의 X'-X'축에 대한 단면 2차 모멘트는
마찬가지로 삼각형단면의 X'-X'축에 대한 단면 2차 모멘트는
직사각형단면의 X'-X'축에 대한 단면 2차 모멘트는
단순하지 않은 모양을 갖는 도형의 도심은 위에서 이미 알고 있는 값을 적용할 수 있도록 단면을 쪼개서 계산한다.
예)
먼저 두개의 직사각형으로 위 도형을 나눌 수 있다.
각각의 사각형의 X‘-X’축에 대한 단면 2차 모멘트를 평행축 이동정리를 이용하여 다음과 같이 계산한다.
따라서, 전체 단면 2차 모멘트는 각각의 직사각형 단면의 단면 2차모멘트의 총합이므로,
(2) 도심축에 대한 단면 2차 모멘트를 도형의 도심에서 상하단 또는 좌우단까지의 거리로 나눈 값을 단면계수라고 한다.
,
,
KeyPoint)
위 도형의 x축에 대한 단면계수를 구하면 다음과 같다.
원형단면:
삼각형단면:
직사각형단면:
<<기본문제 1>> 다음 단면의 수평 도심축에 대한 단면 2차 모멘트를 구하시오.
풀이:
먼저 위 도형의 도심을 구하여야 한다.
위 도형을 세 개의 직사각형(:24x4, :4x24, :12x4)으로 나누어서 생각한다.
가장 윗 변을 기준으로 하여 세 개의 직사각형에 대한 단면 1차 모멘트를 계산하여 전체 단면의 도심을 구하면 다음과 같다.
한편, 세 개의 직사각형 단면의 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 다음과 같다.
따라서, 전체 단면의 단면 2차모멘트는,
4. 단면2차반경(회전반경) 및 단면2차극모멘트(극관성 2차모멘트)
(1) 단면2차 모멘트를 단면적으로 나눈 값의 제곱근을 단면 2차 반경(radius of gyration)이라 한다.
설계에서는 최소회전반경을 많이 이용하는데, 이때 최소회전반경이란 최소단면 2차모멘트를 단면적으로 나눈값의 제곱근을 말한다.
KeyPoint)
위 도형들의 단면2차 모멘트를 구하면 다음과 같다.
원형단면:
삼각형단면:
직사각형단면:
(2) 기준 점에서부터 미소 면적의 도심까지의 거리를 제곱하여, 전체 단면에 대해 적분한 값을 단면 2차 극모멘트라고 한다.
단면 2차 극모멘트
단면 2차 극모멘트는 좌표축의 회전에 관계없이 항상 일정한 값을 갖는다.
KeyPoint)
위 도형들의 단면 2차 극모멘트를 구하면 다음과 같다.
원형단면:
삼각형단면:
직사각형단면:
5. 주단면 2차모멘트
5.1 주축(Principal axis)
임의 단면의 여러 직교 좌표축에 대한 I(단면 2차모멘트) 중에서 최대, 최소 I(단면 2차모멘트)가 발생하는 축을 주축이라고 한다.
5.2 주단면 2차 모멘트
주축의 단면 2차모멘트
이때의 I(단면 2차모멘트)는 최대, 최소 단면 2차모멘트가 되며, 주축은 도심을 지나므로 주축에 대한 단면 상승모멘트는 0이다.
이때, =일정한 값
주단면
주단면 2차모멘트
<<기본문제 1>> 그림과 같은 단면의 도심에서의 주축 및 주단면 2차 모멘트를 구하시오.
풀이:
위 도형에 대해 왼쪽으로 최외측 변을 y축, 밑변을 x축으로 설정한 다음, , 그리고 를 순차적으로 구한 다음에 주단면 2차 모멘트를 산정한다.
먼저, 위 도형의 도심()을 산정하면, (두 개의 직사각형(2x20 과 10x2)으로 나누어서 생각한다.
단면 2차 모멘트를 구하면 다음과 같다.
따라서, 주단면 2차 모멘트를 구하면 다음과 같다.

키워드

응용,   역학,   단면,   도심,   단면 2차 모멘트,   주단면,   회전 반지름