유클리드 원론과 수학 교육

본문내용

이 증명방법은 밑변이 무리수인 경우 즉, 같은 표준으로 잴 수 없는 경우도 포함한다.
◇ 현대 교과서의 증명
오늘날의 고등학교 교과서는 이 정리의 증명을 BC와 DE가 같은 표준으로 잴 수 있는 경우와 그렇지 않은 경우의 두 가지로 나누어 하고 있다. 같은 표준으로 잴 수 있는 경우는 피타고라스의 증명과 같이 하고 그렇지 않은 경우는 극한의 개념 (‘칸토어’ : 임의의 무리수를 유리 수열의 극한으로 생각할 수 있다)을 이용한다.
BC를 n등분한 다음 그 중 한 등분을 BR이라 하자. DE위에 BR 크기의 선분을 계속 이어 붙이면 FE < BR 인 점 F가 나온다. BC와 DF는 같은 표준으로 잴 수 있으므로 △ABC : △ADF = BC : DF 가 성립한다. 여기에서 n→∞ ⇒ DF→DE ⇒ △ADF→△ADE 이므로
∴△ABC : △ADE = BC : DE
7. 정다각형
유클리드의 <원론> 제 Ⅳ권에 보면 3, 4, 5, 6, 15변의 정다각형을 작도하는 문제를 논의하고 있다. 또, 호의 이등분을 이용하여 2n, 3(2n), 15(2n)변의 정다각형도 작도할 수 있다. 19세기까지만 해도 자와 컴퍼스를 가지고 작도할 수 있는 또 다른 정다각형들이 있는지조차 몰랐다. 그러다가 1796년에 독일의 뛰어난 수학자 가우스가 ‘소수’개의 변을 갖는 정다각형이 유클리드 도구만을 가지고 작도될 수 있기 위한 필요충분조건이 그 수가 f(n) = 의 형태임을 보였다. n=0, 1, 2, 3, 4일 때 f(n)=3, 5, 17, 257, 65537을 얻는데 이들은 모두 소수이다. 지금까지 n≥5 일 때 f(n)이 소수가 되는지는 밝혀지지 않고 있다.
이제 위에서 작도 가능하다고 밝혀진 정 3, 5, 17, 257, 65537각형에 대해 살펴보자. 정 3, 5각형의 작도는 유클리드의 <원론>에 나와 있고, 정17각형의 작도는 가우스가 19세 나이로 작도할 수 있음을 발견하였다. 정 257각형의 작도는 1832년 리셸로에 의해, 정 65537각형의 작도는 링겐의 헤르메스 교수가 10년 동안 연구하였다.
8. 유클리드의 그 밖의 저작
유클리드는 <원론> 이외에도 몇 가지 논문을 더 썼는데 그 중 몇 가지를 소개하면, 기하학에 대한 <자료론>, <분할에 관하여>, 기하학의 오류를 담은 <오류론>, <원추곡선론>, <곡면자취론>, 천문학에 관한 <천문현상론>, 원근법에 관한 <광학>, <음악의 원리> 등의 저작을 남겼다.

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유클리드,   유클리드 원론,   수학교육,   원론