「유클리드의 창 : 기하학 이야기」

목차

시작하는 글

제 1장. 유클리드 기하학
- 기하학을 정립한 유클리드
- 유클리드 공리계 (정의, 공준, 공리)

제 2장. 데카르트와 대수학

제 3장. 비유클리드 기하학의 기반을 닦은 가우스
- 휘어진 공간의 개념 : "가우스는 유클리드의 창에서 유리를 떼어내고
휘어진 렌즈로 갈아끼웠다"

제 4장. 아인슈타인 - 휘어진 공간의 정립
- 특수상대성이론과 일반상대성이론
- 심화내용 - 상대성 이론의 방정식
- 공간이 휘어져 있음을 증명해보자

제 5장. 위튼의 M이론
- 알기 쉬운 우주막 이론 정리

마무리글

본문내용

이 평평하지 않고 둥글다는 것을 알게되었다. 그렇지만 우리 운동장 표면이 평평하지 않고 둥근 구 표면이라는 것을 어떻게 알 수 있을까? 운동장에 원을 그리고 그 원의 둘레를 정확히 측정한 다음에 원의 중심에서 둘레까지의 거리인 원의 반지름을 가지고 비교하여보면 알 수 있다. 만일 운동장 표면이 평평하다면 원의 둘레 l 과 반지름 R 사이에는 l=2 x 3.14 x R 이라는 등식이 성립한다. 그런데 오른쪽 그림에서 볼 수 있는 것처럼 만일 운동장 표면이 구의 일부와 같다면 원둘레 l 이 반지름 R 에 2x3.14를 곱한 것보다 더 짧다. 측정한 원둘레를 2x3.14로 나누어 구한 반지름과 측정한 반지름 사이의 차이를 굽은 표면의 잉여반경이라고 부른다.
3차원 공간의 경우에는 공간이 휘었는지 안 휘었는지 구분하기 어렵지만 위와 비슷한 측정을 해보면 쉽게 알 수 있다. 이번에는 공간에 구를 그린다. 그리고 그 구 표면의 넓이를 측정한다. 그리고 그 구의 중심에서 구 표면까지의 거리인 반지름을 측정한다. 만일 공간이 평평하다면 반지름에 4x3.142를 곱한 것이 측정한 구 표면 넓이와 같을 것이다. 만일 측정한 구 표면 넓이가 이보다 더 작다면 공간이 휘어있는 것을 나타낸다.
실제로 지구 표면의 넓이를 계산하면 지구 반지름을 가지고 계산한 넓이보다 약 7만평 정도가 더 작다고 한다. 일반 상대성 이론에 의해 중력이 공간을 휘게 하여 보통 대학교 운동장 몇 배 정도의 넓이가 손실되었다. 태양의 표면 넓이는 미국의 전체 넓이만큼 줄어져 있다고 한다.
<제 5장 : 위튼의 M-이론>
알기 쉬운 우주막 이론 정리
가우스가 발견한 휘어진 공간의 개념은 끈 이론의 2차 혁명으로 불리는 위튼의 M 이론(1995년)에 이르면 10차원, 11차원의 공간 개념으로 발전한다. 초끈이론은 물질의 기본단위를 진동하는 미세한 끈으로 보는 이론이다. 그리고 M-이론은 여러 가지 초끈 이론을 통합하려는 시도에서 나온 것으로, 우주의 기본 구성 요소는 끈이 아니라 얇은 막이고 필요한 차원은 11차원이라고 가정하는 것이다.
쉽게 예를 들어보자. 우리가 식빵을 자른다고 친다. 그리고 식빵 위에 잼을 바른다고 하고 그 잼이 우리가 사는 공간이며 인간과 행성, 항성, 모든 천체들이 존재한다고 친다. 그런 빵을 여러 개 만든 다음 도미노처럼 세워 보자. 여러 개의 빵들이 평행으로 서있을 것이다. 이것이 우주 막 이론이다.
우리가 사는 우주는 여러 개의 막으로 구성된 우주 중 하나이고 옆에는 결코 갈 수 없는 여러 개의 평행우주가 존재한다는 M이론. 하지만, 이러한 막은 식빵처럼 가만히 있는 것이 아니라 바람 부는 커튼처럼 요동하고 있다고 한다. 그래서 옆에 있던 우주막과 접촉하면 엄청난 충돌이 생겨 빅뱅이 일어난다고 한다.
평행우주들은 직접 우리가 갈 수는 없다. 하지만, 중력자라고 하는 가상의 입자는 갈 수가 있다고 한다. 따라서 이 우주막 이론에 의해 그동안 과학자들이 풀기 위해 노력했던 중력과 전자기력의 힘의 세기의 차이가 설명이 된다. 중력은 우주를 벗어날 수 있기 때문에 다른 우주로 방출이 된다. 하지만, 전자기력은 방출될 수 없다. 따라서 전자기력은 우리 우주를 벗어날 수 없기 때문에 중력보다 10^39배나 강하다. 이러한 성질을 이용하여 나중에 기술이 발달하면 우리는 중력자를 가지고 다른 평행우주에 있는 외계인과 통신할 수도 있다. 하지만, 아직 이론일 뿐 정확하게 밝혀진 것은 없다. 이 우주론은 끈 이론에 기초한 것이기 때문에 그 끈을 관찰해야 한다. 그러나 그 끈은 너무나도 작아서 결코 볼 수 없다. 만약 태양계 만한 크기의 현미경이 있어서 끈을 보기만 한다면 M이론의 실체는 밝혀질 것이다.
마무리 글...
과거에는 수학이 지금처럼 딱딱한 학문은 아니었을 것이다. 수학은 생활의 한 부분이었고, 많은 수학자들이 그 자체를 탐구하는 데에서 희열을 느꼈을 것이다. 이 책을 통해 그동안 학창시절에 배웠던 지겹고 공식 외우기 급급했던 수학의 이미지에서 벗어난 것 같다. 우리가 살고 있는 세계를 평면에서 휘어진 상태로 이해하기까지의 과정이 솔직히 어려웠지만 한 편으로는 내가 몰랐던 우주의 비밀이 하나씩 벗겨지는 것 같아서 흥미로웠다. 또 이 책 내용 가운데 상당 부분이 수학사보다는 물리학사에서 중요한 사건들을 중심으로 선별되었는데, 이러한 특징은 이 책의 단점이 아니라 차별적 장점이다. 현대물리학이 나오기까지 기하학의 변천이 어떻게 이루어져왔는지 매우 생동감 있고 재미있게 알려준 책이다.

키워드

유클리드의 창,   유클리드의창,   m 이론,   기하학이야기