평행선공준

목차

1.평행선 공준
2.비유클리드 기하학자
3. 비유클리드 기하학의 세계
4.비유클리드 기하학의 역사적 배경
5. 쌍곡기하학
6. 타원기하학
7.비유클리드기하학의 영향

본문내용

의하면 3각형의 내각의 합은 보다 작다.
(4) 둔각가정에 의하면 한 3각형의 내각의 합과 과의 차는 그 3각형의 넓이와 비례한다.
(5) 예각가정에 의하면과 3 각형의 내각의 합과의 차는 그 3각형의 넓이에 비례한다.
이 결과로부터 둔각가정에 의해 이끌어 낼 수 있는 기하학은 구면 기하학과 흡사함을 확인 하였다. 사실에 있어서 구면기하학에서는 3각형의 내각의 합은 보다 크고, 내각의 합과 과 의 차는 그 3각형의 넓이에 비례한다.
또 Lambert는 예각가정으로부터 이끌어 낼 수 있는 기하학은 허수의 반지름을 가지는 구 위에서 실현될 수 있을 것으로 예상하기도 하였다.
3) Legendre의 연구
둔각, 직각, 예각가정 가운데 둔각, 예각가정의 모순성을 지적하여 직각가정만이 남게 되어 평행선공준이 성립함을 지적한 노력은 Legendre(1752∼1833)에게도 관심을 가지게 하여 그는 3각형의 내각의 합은 보다 크다, 같 다, 작다의 세가지 가정을 생각하며 '직선은 무한 크기를 갖는다'를 가정으로 하여 제1 가정(보다 크다)은 성립될 수 없음을 설명하였으나 제3가정은 해결하지 못하였다.
5. 쌍곡기하학
Hilbertd의 결합공리, 순서공리, 합동공리, 연속공리, 새로운 평행선 공리, 즉'주어 진 직선위에 있지 않는 점을 지나 이 직선과 만나지 않는 직선은 2개 이상 있다' 를 근간으로 하여 구성된 기하학을 쌍곡기하학이라고 한다.
1)쌍곡기하학의 기초정리
정리 1 : 쌍곡 3각형의 내각의 합은 180°보다 작다
정리 2 : 4각형의 내각의 합은 360°보다 작다 (그림 5).
정리 3 : Saccheri 4각형의 두 꼭지각은 예각이다.
정리 4 : Lambert 4각형의 제4의 각은 예각이다.
정리 5 : 두 닮은 3각형은 합동이다. (그림 6).
증명
그림 5 그림 6
이것은 모순이다(기초정리②). 따라서, 유클리드기하학에서 합동개념은 닮은 개념의 특수개념이나 쌍곡기하에서는 합동, 닮은 개념은 같은 개념이기 때문에 닮은 개념은 무용지물이다
2) 의구
수레 P에 밧줄의 한끝을 매고 다른 끝 A를 잡아 직선 l의 방향으로 팽팽하게 당기어 끌고 가면 수레P는 그림 7와 같은 곡선을 그린다. 이와 같은 곡선을 견인선이라하고, 직선 l 은 이 곡선의 점근선이 된다. 이때 점근선을 축으로하여 견인선을 한 바퀴 회전하게 되면 회전곡면이 생기게 되는데 이것을 의구라고 한다. 의구는 반지름이 순허수인 구의 성질과 같이 음의 일정한 곡률을 가진다.(그림 8)
그림 7 그림 8
의구 위에서 두 점 사이의 최단거리를 가지는 곡선을 직선이라 하고 쌍곡기하학을 실현시킬 수 있는 모형으로 삼고 있다. 다른 한편 앞에서 진술한 의구의 모선인 견인선은 현수선(Catenary, 축 늘어진 빨래줄과 같은 곡선으로서 포물선과 비슷하나 포물선과는 다른 곡선)의 신개선으로 얻어진다(그림 7).
6. 타원기하학
Hilbert의 결합공리, 순서공리, 합동공리, 연속공리와 또다른 새로운 평행선공리, 즉, '주어 진 직선 위에 있지 않는 점을 지나, 이 직선과 만나지 않는 직선은 하나도 그 을 수 없다' 를 근간으로 하여 구성된 기하학을 타원기하학이라고 한다.
다시 말하면 유클리드기하학에서 채택된 결합, 순서 합동, 연속공리는 그대로 수용하고 평행 선공리만을 바꾼 것이다. 이와 같은 새로운 평행선공리로부터 출발한 기하학은 구면위 에서의 기하학과 대단히 흡사하다는 것을 Lambert에 의해 지적되었다.
1) Riemann 모형
Riemann모형은 유클리드기하학에서 얘기하는평면, 직선, 점을 각각 임의의 구, 대원, 구 위 의 점으로 바꾼 것을 말한다(그림 9).
그림 9 그림 10
구를 중심을 지나는 평면으로 자를 때 생기는 원을 직선으로 보자는 것인데 구의 대 원은 그림 9과 같이 반드시 두점에서 만난다. 그러나 결합공리에서 두 직선이 만 나면 오직 한점에서 만난다고 하였으므로 A=A'라고 가정하여야 옳을 것이다. 따라 서 점 A와 A'는 동일한 점이 된다.
상반구 위에 있는 대원을 직선이라 하면 이 직선의 길이는 유한이고, 이와 같은 직선 을 두 개 생각하면 이들은 반드시 한 점 A에서 만나게 된다(그림 10). 그러므로 주어 진 직선 위에 있지 않는 한 점을 지나 이 직선과 만나지 않는 직선은 하나도 그 을 수 없다.
그런데, 타원기하학을 단일 타원기하학, 이중 타원기하학으로 분류한다면 이들 타원 기하학의 모형은 각각 반구, 전구를 가지고 설명하며 일반적으로 타원평면은 단 일 Mobius의 띠와 같은 단측곡면에서 실현시킬 수있고, 이중은 구와 같은 양측 곡면에서 실현이 가능하다.
2) 정의와 기초정리
정리 1 : 한 직선에 수직인 두 직선은 한 점에서 만난다 (그림 12).
정리 2 : 한 직선에 여러 직선이 수직이 될 필요충분조건은 여러 직선이 일정한 점에 서 만나는 것이다.
정리 3 : 주어진 극거리를 d라 할 때 BCd이면 A는 둔각이다(그림 12).
즉, 3각형의 내각의 합은 보다 크다.
정리 5 : 정 4각형은 존재할 수 없다.
정리 6 : 4각형의 내각의 합은 360°보다 크다.
정리 7 : Saccheri4각형의 꼭지각은 둔각이다.
정리 8 : Lambert 4각형의 제 4의 각은 둔각이다.
정리 9 : 두 닮은 3각형은 합동이다.
7.비유클리드기하학의 영향
A. 아인슈타인의 상대성이론에서 ; 비유클리드 기하학의 발전으로 우주 공간의 무한성에 대한 의문을 인지 하지만 리만(Riemann), 헬름홀츠(Helmholtz)가 다름.
예를 들어
a) 2차원 공간에 존재하는 생물을 상상..
i) 생물은 평면 내에서 존재
하지만 2차원 우주도 무한대이다. (즉 우주의 부피는 무한대이다.)
ii) 생물은 구면 내에서 존재
생물이 보는 우주는 평면기하학이다.
직선을 곡선으로 생각
따라서 이들 생물이 가지는 우주는 유한하나 한계가 없다.
b) 2차원 구면 우주에 대해서, 리만(Riemann)이 발견했던 3차원 구형 공간 (즉, 유한한 부피를 가지나 경계가 없다.)을 유추할 수 있다.

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