페르마의 정리

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페르마의 정리에 대한 보고서 자료입니다.

목차

목차
1. 서론

2. 페르마에 대해서
2.1 페르마의 소개
2.2 페르마의 연구내용

3. 페르마의 마지막정리에 대한 구체적 경우의 증명방법
3.1 n = 4인 경우
3.2 n = 3인 경우
3.3 n = 5인 경우
3.4 n = 7인 경우

4. 쿠머와 와일즈의 업적
4.1 쿠머의 업적
4.2 프라이에서 와일즈까지의 증명과정
4.3 와일즈의 업적

5. 결론

6. 참고문헌

본문내용

ble인 타원곡선에 대해 타니야마 - 시무라 - 베유의 가설이 참임을 보이면 페르마의 마지막 정리가 증명된다고 생각했다. 즉, 타니야마 - 시무라 - 베유의 가설이 모든 semistable한 타원곡선에 대해 참이면 프레이 곡선도 모듈러야 하는데 프레이 곡선은 모듈러가 아니므로 프레이 곡선은 존재할 수 없게 되고 따라서 페르마의 마지막 정리는 참이 되는 것이다. 그는 리벳이 프레이 가설을 증명하던 날부터 타니야마 가설에 대한 연구를 시작해 5년 후 1991년 타니야마 가설을 일반화한 셀머군의 크기를 계산하는 문제자체가 매우 어려운 것이라 깨닫고 고심하던 중 플래쉬가 보내 논문을 읽고 특별한 경우에 대한 타니야마 가설을 증명하게 되었다. 그 후 1992년말 그는 갈로아 표현법(Galois representation)을 완성하게 되고 1993년 5월 semistable 타원곡선에 대응하는 타니야마 가설에 대한 모든 증명을 끝냈다.
1993년 6월 23일 영국 케임브리지에 있는 뉴턴 연구소에서 열린 학술회의에서 연속적인 세 번의 발표를 통해 첫 번째와 두 번째는 다원곡선들의 한 무한족에 대한 타니야마 - 시무라 - 베유의 추측을 새로운 방법으로 증명했고, 마지막 발표에서 그는 타니야마 - 시무라 - 베유의 추측이 semistable 타원곡선들에 대해 참이라는 주결과를 발표하고 이 결과에서 부수적으로 연역되는 페르마의 마지막 정리는 그 추측의 따름정리가 되었다.
와일즈의 증명에서 몇 가지 논리적 미약이 발견되었는데 이는 동료교수 테일러와 공동논문을 통해 증명하였고 1997년 6월 27일 와일즈는 2년간 심사기간을 거쳐 볼프스켈 상을 수상하였다.
4.3 와일즈의 업적
페르마의 마지막 정리에 대한 와일즈의 증명은 많은 수학자들의 합작품이라 할 수 있다. 360여년동안 도저히 정복될 것 같지 않던 거대한 산을 정복한 것이다.
앤드류 와일즈는 40대 중반의 수줍음 많은 영국 출신의 수학자로 캠브리지대학교에서 코오츠교수의 지도하에 박사학위를 취득했고 1980년 중반부터 프린스콘대학교 수학과 교수로 재직중이다. 1986년 그는 리벳이 ‘세르의 e-예상’을 해결했다는 소식을 듣고 그날부터 페르마의 마지막 정리를 염두에 두고 타니야마-시무라-베유의 추측에 도전하였다. 그 후 7년동안 그는 집에서 아무에게도 알리지 않고 혼자 연구에 몰두하여 1993년 1월 증명이 거의 완성되었다는 자신을 가질 수 있었다.
와일즈는 프린스톤의 동료인 캇츠(Nick Katz)에게 이를 알리고 그에게 설명하기 위해 강의를 개설하였고 한학기의 강의가 끝나갈 즈음 캇츠도 증명의 기본 줄거리에 오류가 없는 듯하다고 동의하였다. 또한 와일즈는 다른 프린스톤의 동료인 사르낙(Sarnak)에게 이 사실을 알리고 검증을 의뢰 한 후 모교에서 열리는 학술회의에서 이 역사적인 발표를 하기 위해 캠브리지로 갔다. 이 발표가 끝난 후 전 세계 수학계가 경악하였다. 어느정도 예상은 했지만 가히 폭발적인 것이었다.
그는 정수론의 최첨단 이론을 모두 동원하여 타니야마의 추측을 증명함으로써 이 역사 싶은 수수께끼의 답을 찾을 수 있었다. 수학적관점에서 보면 모델과 타니야마의 추측들이 와일즈에 의해 완성되었으나 그의 증명은 페르마의 마지막 정리는 단순한 수학적 기술에 의해 증명되었기보다 수학의 또 다른 분야를 개척했다는데 큰 의의가 있다.
와일즈의 증명은 순수대수학과 위상수학, 기하학이 서로 독립된 분야가 아니라 하나의 커다란 이론적 유기체로서 상호의존적이라는 것을 부여주고 있다. 와일즈의 증명으로 인해 현대수학은 희망으로 가득 찬 차세대 수학으로 일대 도약을 일으켰으며 시간이 흘러 더 많은 정리들이 증명될수록 와일즈의 진가는 더욱 분명해 질 것이다.
제 5 장 결 론
우리는 페르마의 마지막 정리가 증명되는 과정을 알아보았다.
실제로 1984년까지 페르마의 마지막 정리는 증명된다고 해도 별 쓸모가 없는 호기심만 불러일으키는 문제일 뿐이었으나 이 문제가 타원함수에 대한 어떤 문제와 관계가 있다는 것이 밝혀지면서 엄청나게 많은 다른 문제들을 풀 수 있는 출발점이 되었다. 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것은 곧 20세기 수학에 한 획을 긋는 역사적인 일이었던 것이다.
수학적 관점에서 보면 페르마의 마지막 정리 문제는 단순히 문제를 해결하는데 의미가 있는 게 아니라 페르마 시대부터 지금까지의 모든 수학적 분야를 총동원하여 해결한데 의의가 있다. 오일러의 증명에서 쓰인 새로운 형태의 수들을 일종의 정수(integer)로 생각할 수 있으며 이것을 대수적 정수(algebraic integer)라 부른다. 이런 대수적 정수의 성질을 연구하는 분야가 대수적 정수론(algebraic integer theory)이다. 한편 쿠머는 페르마의 마지막 정리가 아니라 이른바 ‘상호정리’를 증명하려고 시도했었다. 고차 상호법칙을 증명하려는 쿠머의 시도로부터 원분 정수와 아이디얼 수가 등장했는데 이런 개념은 페르마의 마지막 정리와 흥미로운 관계를 갖고 있을 뿐 아니라 유체(class field)이론과 추상 대수학의 발달에도 큰 공헌을 하였다. 와일즈의 연구도 오래전부터 수학자에게 큰 과제를 제시한 디오판토스방정식의 풀이와 관련이 있으며 타원곡선과 모듈러형식, 갈루아표현이론을 창조했다.
페르마의 마지막 정리의 증명은 끝이 아니라 또 다른 시작이다. 증명을 얻기 위해 사용된 방법은 페르마의 마지막 정리 자체보다 훨씬 중요하다.
수학 문제의 해결은 당장 해결되는 것보다는 오랜 수학이론의 발전과 더불어 해결된다고 보여진다. 이는 곧 위대한 선각자들의 올바른 방향제시가 수학발전에 얼마나 중요한 것인가를 알려준다.
6. 참고 문헌
1. 사이먼싱 . 페르마의 마지막 정리 . 영림카디널 . 1998
2. 리벤보임 . 아마추어를 위한 페르마의 마지막 정리 . 교우사 . 2000
3. 양재현 . 타원곡선에 관한 지난 20년간의 연구동향 . 대학수학회 . 1999
4. Reid Constance , 허민 옮김 . 영부터 무한대까지 . 경문사 . 1997
5. 한상숙 “페르마의 대정리데 대해” . 이화여대 교육대학원 . 1982
6. 박승안 , 김응태 . 정수론 . 경문사 . 2002

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수학,   페르마,   정리,   논문