자유낙하, 자유진동실험

목차

1. 실험 목표

2. 이론

▣ 단진자, 복합진자 실험

▣ 자유진동 실험

3. 실험 결과

▣ 단진자, 복합진자 실험

▣ 자유진동 실험

4. 고찰 및 토론

5. 참고 이론

본문내용

2) 다음 식을 이용하여 스프링 상수를 구한다.
(a) k ≒ 19.157 (N/m)
(b) k ≒ 10.359 (N/m)
(c) k ≒ 39.161 (N/m)
3) 이론적인 스프링상수(두개의 스프링 상수가 같다고 가정)
하나의 스프링 상수가 19.157 (N/m) 이라면,
- 직렬연결(b)
식에 대입하면 9.579 (N/m)가 나와야 한다.
오차 : 0.78 (N/m)
- 병렬연결(c)
식에 대입하면 38.314 (N/m)가 나와야 한다.
오차 : 0.847 (N/m)
4. 고찰 및 토론
1) 단진자, 복합진자 실험
- 이 실험에서는 FFT장비를 이용하여 복합진자의 주기를 측정하고,
식을 이용하여 같은 주기를 가지는 등가단진자의 실의
길이를 구하였다.
위 식은 로도 표현이 가능하므로, 측정값과 이론값의 오차를
구할 수도 있겠지만, 이번 실험에서는 회전반경 K 값을 모르므로,
질량 관성모멘트 역시 구할 수 없어서 오차를 구하진 못하였다.
하지만 분명히 오차는 존재할 것이다.
이론에서 우리는 + sin = 0 의 식을 θ가 아주 작다고 가정하고
위 식을 small signal 이론으로 = 0 선형화 시켰다.
하지만 실험에서는 θ가 무시할 수 있을 만큼 작지 않으므로 이론값과
는 차이가 있을 것이다. 또한 공기의 저항 역시 작용할 것이고, FFT
장비에서 복합진자와의 연결부분에서의 마찰 손실도 고려해야 할 것이
다. 중력 역시 실험에서는 9.81 m/s² 이 아닐 것이다.
따라서 이러한 요소들을 고려해 볼 때 실험값과 이론값에는 분명히
차이가 있을 것이다.
2) 자유진동 실험
- 이 실험에서는 질량-스프링시스템의 주기를 측정하여 스프링을 직렬
로 연결했을 때와 병렬로 연결했을 때의 스프링 상수 값을 구해보았다.
우선 하나의 스프링에 하나의 질량을 연결했을 때의 스프링 상수 값
19.157 (N/m)를 기준으로 두 번째 스프링 역시 동일한 스프링이라
가정하고 이론값과 실험값의 오차를 계산하여 보았다.
이론적으로 스프링 상수가 19.157 (N/m)인 스프링 두 개를 그림
(b)처럼 직렬로 연결하면 에 의해 이론적으로 스프링
상수가 9.579 (N/m)가 나와야 한다.
또한 그림(c)처럼 병렬로 연결하면 식에 의해 이론적으로
스프링 상수가 38.314 (N/m)가 나와야 한다.
하지만 실험에서는 각각 (b) 10.359 (N/m), (c) 39.161 (N/m)가 나와
오차가 발생하였다.
오차가 발생한 이유로는 우선 실험 시 상, 하로만 변위가 생겨야 하는
데 손으로 실험하였기 때문에 좌, 우 변위가 생겼다. 또한 시간 측정
역시 스탑워치를 이용하여 손으로 측정하였기에 정확한 수치를 기대하
기는 힘들다. 스프링 역시 오래 사용한 것이기 때문에 처음의 고유한
스프링 상수값을 유지하고 있지는 못할 것이고, 직렬, 병렬로 연결할
때 스프링끼리의 연결부분이 매끄럽지 못했고 스프링 자체의 질량도
무시할 수 없기 때문에 오차가 발생 하였을 것이다.
또한 스프링은 코일형태로 되어있기 때문에 이론적인 식처럼 단순히
선형적으로 계산하기에는 무리가 있을 것이다.
5. 참고 이론
1. 1자유도 시스템의 자유진동
- 1자유도 시스템은 1개의 자유도(DOF, degree of freedom)를 가지며, 1개의 고유진동수를 가지는 시스템이다. 실제 문제의 경우 1자유도로 표현되는 시스템은 존재하지 않는다고 말할 수도 있으나, 다자유도 시스템을 이해하기 위해서는 자유도 시스템을 알아야 하고, 진동의 개념이나 기계 시스템의 동역학적 특성을 이해하는데 반드시 필요하기 때문에 관심을 가져야 한다. 진동 현상을 분류하는 데에는 여러 가지 기준이 있지만, 크게 자유진동(free vibration)과 강제진동(forced vibration)으로 나눌 수 있는데 자유 진동은 외부에서 외력이 작용하지 않은 상태에서 초기 상태의 변위나 속도 등과 같은 초기조건에 의한 진동을 말하고, 와 같은 homogeneous 미분방정식으로 나타내어진다. 강제진동은 외부로부터 외력과 초기조건이 시스템에 가해질 경우의 진동을 말하고, 와 같은 non-homogeneous 미분방정식으로 나타내어진다.
질량(m), 감쇠기(c), 스프링(k)으로 구성된 1자유도 시스템에서 운동방정식은 뉴턴의 운동 제 2법칙을 적용시키면 다음과 같은 2차 homogeneous 미분방정식의 형태로써 나타낼 수 있다.
위 미분방정식의 해가 그림.1의 1자유도 시스템의 변위나 속도와 같은 응답이 되기 때문에 진동해석을 위해서는 미분방정식을 풀어서 해를 구해야 된다. 특성방정식의 해를 구해보면 다음과 같다.
여기에서 안의 값인 를 0으로 하는 c의 값을 임계감쇠계수( , critical damping coefficient)라고 하고, 과도상태에서 진동의 형태를 좌우하는 요소가 된다. 따라서 임계감쇠계수는
가 된다. (단, 은 고유진동수, ) 그리고 감쇠계수와 임계감쇠계수의 비를
감쇠비(damping ratio)라고 하고, 과도상태에서 진동의 형태를 결정하는 기준이 되고, 감쇠비는
이고, 특성방정식의 해를 감쇠비로 나타내면 다음과 같다.
2. 2자유도 시스템의 자유진동
-실제 공학적 예제들의 경우 1 자유도로 모델링해서는 해석의 정확성을 적절히 보장할 수 없는 경우들이 많이 발생한다. 예를 들어 기반 가진에 (Base Excitation) 의한 진동의 경우 기반 운동이 시간에 대해 주어지는 것으로 하였으나 기반 운동도 자유운동으로 다루게 되면 또 다른 운동방정식을 세워서 풀어야 하는 것이다. 이 외에도 현가장치 운동을 고려한 자동차의 진동이나 고층건물의 진동은 일반적으로 다 자유도 시스템으로 모델링하여 다루게 된다. 다 자유도 시스템은 그 자유도 수 만큼의 고유진동수를 갖게 되며 1 자유도 시스템에서는 없었던 모드 벡터도 갖게 된다.
가 0이 아닌 근을 갖기 위해서
-------- 고유진동수(natural frequency)
i)
--- 모드형 (mode shape), 모드벡터(modal vector )
1 1 first mode
ii)
node(절) second mode
1
-1
자유진동
는 초기조건 로부터 구한다.

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자유낙하,   자유진동,   진동,   자유도계,   단진자,   복합진자