중세유럽수학

본문내용

어 버렸다. 타르탈리아는 이에 격분하여 격렬한 항의를 하였지만 카르다노의 가장 유능한 제자였던 페라리(Ferari)는 카르다노가 제 3자를 통하여 페로의 해법에 관한 정보를 얻었다고 주장하면서 오히려 타르탈리아가 동일한 원전으로부터 해법을 표절했다고 비난했다.
3차방정식이 풀려진 후 오래지 않아 4차방정식의 대수적 해법도 발견되었다. 1540년에 이탈리아 수학자인 코이(Coi)가 카르다노에게 4차방정식을 초래하는 문제를 주었다. 그러나 카르다노는 그 방정식을 풀지 못했지만 제자인 페라리가 문제를 푸는데 성공하여 그의 <위대한 술법>에 이 해법을 싣는 기쁨을 누렸다.
3차 및 4차 방정식
16세기의 가장 극적인 수학적 성취는 이탈리아의 수학자들의 3차 및 4차 방정식의 대수적 해법의 발견
①3차 방정식의 해법(카르다노의 <위대한 술법>에 실려있음)
의 해법은 본질적으로 다음과 같다. 다음 항등식을 살펴보자:
여기서 를 다음과 같이
,
으로 놓으면 는 로 주어진다. 이 마지막 두 방정식을 에 관하여 연립하여 풀면
,
이고, 따라서 가 구해진다.
②4차 방정식의 해법(카르다노의 제자 페라리에 의해 해결<위대한 술법>에 실려 있음)
간단한 변환에 의하여 일반 4차 방정식이 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
.
그러므로 임의의 에 대해서
이제 우변이 완전제곱(판별식 )이 되도록 를 취하자.
그 경우는 다음과 같은 때이다:
예) 3차방정식의 해를 구하기 위하여...
라 놓으면
이고 풀면
⇒
⇒
으로 변환된다.
3차 방정식의 해법
의 해법은 본질적으로 다음과 같다. 다음 항등식을 살펴보자:
여기서 를 다음과 같이
,
으로 놓으면 는 로 주어진다.
이 마지막 두 방정식을 에 관하여 연립하여 풀어보자.
과 을 두 근으로 하는 2차방정식을 만들면
이므로
으로 된다. 따라서
=>
=>
※ 는 1의 허수근(의 방정식을 풀었을 때 하나의 허근을 라 한 것임)으로 을 만족하고 있다.
여기서 이다.
4차 방정식의 해법
.
그러므로 임의의 에 대해서
이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록 를 취하자.
그 경우는 다음과 같은 때이다:
결국 이 방정식은 에 관한 3차방정식이고, 를 구할수 있다.
이 하나를 로 하면
()
이라는 두 개의 2차방정식을 얻는다. 이 방정식을 풀면 해 4개를 얻을 수 있다.
16세기를 대표하는 수학, 즉 대수의 '원산지'는 비유럽 세계인 아라비아였지만 대수가 유럽에서 발전하게 된 이유는 '중세 후기에 있어서의 상업발달의 압도적인 영향 밑에서 계산술과의 쌍둥이로서' 이탈리아 상인이나 은행가들의 실제적인 필요 때문이었다. 천문학이 오랜 동안 수학의 발전에 기여해왔고, 한 때는 '수학자'라는 이름이 천문학자를 의미하기도 했다. 수학에 공헌한 천문학자 중에서 가장 빼어난 인물은 폴란드의 니콜라스 코페르니쿠스 (Nicolas Copernicus. 1473~1543) 였다. 우주에 관한 그의 이론은 삼각법의 개선을 필요로 하는 것이었고 그 자신도 삼각법에 관한 논문을 썼다.
(참 고) 중세유럽수학<6세기에서 16세기까지>의 수학자들
피보나치
피사에서 1170 년경 태어나서 피사(지금의 이탈리아) 에서 1250 년경 사망했다. 피보나치는 고대수학을 되살리는데 중요한 역할을 했고 그것에 대한 완전한 이해로부터 자 신의 독창적인 계산법을 창안하여 근대 과학의 기초를 이루었다.레오나르도 피사는 그의 별 명이였던 피보나치라는 이름으로 우리에게 더욱 친숙하게 알려져 있다. 피보나치는 이탈리 아에서 태어났으나 외교관이였던 아버지를 따라다니면서 북아프리카에서 교육을 받았다.이 이탈리아인은 소년시절부터 상업에 종사하여 이집트 시리아 그리스 시칠리등을 여행하면서 많은 수학적인 지식을 모았다.이러한 지식을 바탕으로하여 13세기 아라비아 숫자를 사용한 계산법에 대한 저술 중 역작이였던 계산판의 책 (Liber abaci)을 1202년 펴냈다. 이 책에 는 인도 아라비아 숫자가 적극적으로 쓰여져 있고 기하보다는 대수를 많이 다루고 있다. 오늘날 읽기에는 대부분이지루한 내용이지만 이집트의 수학에서 힌트를 얻은듯한 재미있는 내용도 더러 있었다. 그 중에서 가장 잘 알려진 문제는 아마도 다음 문제일 것이다.
한 쌍의 토끼가 매월 한 쌍의 토끼를 낳고, 태어난 한 쌍의 토끼가 다음 달부터 한 쌍의 토끼를 매월 낳기 시작한다면, 처음 한 쌍의 토끼로부터 1년간 합계 몇 쌍의 토끼가 태어날 것인가?
이 문제가 바로 피보나치 수열이라고 불리우는 것의 원형이다. 이 피보나치 수열은 식물 의 잎이 나오는 순서나 생물의 성장 문제에도 응용할 수 있다고 한다. 이밖에도 실용 기하학(Practica Geometriae,1220년),수론(Fros, 1225년),제곱근의 책 (Liber guadratorum, 1225년)등을 저술하여 남겼다. 실용기하학에는 헤론의공식의 멋진 증명과 피타고라스 정리 의 3차원공간의 확대 등의 내용이 소개되어 있고 수론에는 디오판토스식의 부정문제와 아라비아나 중국계방정식을 다루고 있으며 제곱근의 책에는 제곱근의 값을 소수점 아래 9자리까지는 정확하게 구해내는 방법을 소개하고 있다. 그 밖에 응용기하학을 연구하여 유클리드를 소개하는 등 몇 가지 정리를 증명한 《기하학의 실용(1220)》을 발표하였다.
아리아바타
5∼6세기경의 인도의 수학자천문학자로 그가 쓴 <아리아바티야 Aryabhatiya>가 남아 있어 그가 476년에 출생하여 499년에 이 저서를 냈다는 사실을 추정할 수 있고, 그 밖의 사항이나 경력에 대한 문헌은 남아있지 않다.
그의 저서 <아리아바티야>에는 4장으로 나누어져 있으며, 주로 천문학을 다루고 수학에 대해서도 약간 언급되어 있다. 제 1장에서는 문자에 의해 수를 표시할 수 있는 독특한 방법 이 제시되었으며, 그리스로부터 이 점에 대해서는 후세 인도의 천문학자들로부터 전통의 파 과자라는 비난을 받았다고 한다. 그러나 주요한 천문학저 내용은 그리스이 처동설에 의한 태양달행성 등의 현상에 대한 내용을 설명하고 있어, 인도 제 3기의 천문학을 대표하는 중요한 저서로 평가되고 있다.

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중세,   유럽,   수학