미적분학 5-1

본문내용

풀이>(a, b)구간에서 을 만족하고 곡선이 교차하는 점은 그래프로부터 와 라는 것을 볼 수 있다. 따라서 곡선으로 둘러싸인 영역의 면적
문제 5-1-19> 컴퓨터에 장착된 대수학 시스템을 이용하여 곡선 와
로 둘러싸인 넓이를 정확히 구하여라.
풀이>그림에서 나타나듯이 곡선 와 는 원점에 대해 대칭인 4개의 영역을 포함하고 있다. ( 와 는 x의 기함수) 곡선들은
을 만족하는 점에서 교차한다. 즉,
이는 x=0과
( 즉, )이다.
정확한 넓이는
=
문제 5-1-20> 크리스와 켈리의 경주용 자동차가 경주의 출발선에서 동시에 출발한다. 아래 표는 경주의 초반 10초 동안 각각의 자동차의 속도(시간당 마일)를 보여주고있다. 중점법칙을 이용하여 초반 10초 동안 켈리가 크리스의 주행거리보다 얼마나 더 멀리 주행하였는가를 계산하여라.
t
t
0
1
2
3
4
5
0
20
32
46
54
62
0
22
37
52
61
71
6
7
8
9
10
69
75
81
86
90
80
86
93
98
102
풀이> 주어진 데이터로 중점법칙을 이용하기 위해서 n=5로 잡자.
이므로
마일 또는 피트
문제 5-1-21> 두 대의 자동차A와 B가 정지상태에서 동시에 출발하여 가속한다. 다음 그림은 두 자동차의 속도함수에 대한 그래프를 나타낸다.
a) 1분 후에 어떤 차가 앞서는가? 설명하여라.
b) 빗금친 영역의 넓이는 무엇을 의미하는가?
c) 2분 후에 어떤 차가 앞서는가? 설명하여라.
d) 두 대의 자동차가 다시 만나는 시간을 추정하여라.
풀이>a) 1분후에 곡선A 아래의 면적이 곡선B아래의 면적보다 크다. 따라서 A가 앞선다.
b) 빗금친 영역은 을 나타낸다. 이는 1분후에 A가 B에 대해 앞선 거리이다.
c) 2분후에 자동차B가 자동차A보다 빠르다. 하지만 t=0에서 t=2까지의 경우 곡선 A아래의 면적은 여전히 곡선B아래의 면적보다 크므로 2분후에도 A가 앞선다.
d) 그래프로부터 대략 x가 2.2 일 때 두 곡선 아래의 면적이 같아 보이므로 약 2.2분 후에 두 대가 다시 만나게 된다.
문제 5-1-22> 방정식 이 나타내는 곡선을 Tschirnhausen's cube라고 일컫는다. 이 곡선의 그래프를 그리면 이 곡선의 일부가 하나의 고리로 되어 있음을 알게 될 것이다. 이 때 그 고리로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.
풀이>이 방정식의 그래프를 그리기 위해서 먼저 이 방정식을 다음과 같이 y에 대한 양함수로 나타내자.
그래프로부터 고리는 x=-3에서 x=0까지이고 대칭성에 의해서 우리가 찾고자 하는 면적은 곡선의 위쪽 반의 면적의 두배가 된다. 위쪽 반의 함수는 이므로 면적 가 된다.
으로 치환하면 du=dx가 되고 영역은 0에서 3이 된다. 따라서
문제 5-1-23> 곡선 고 로 둘러싸인 영역을 직선 로 같은 넓이를 갖는 두 개의 영역으로 이등분할 때 b의 값을 구하여라.
풀이>문제의 대칭성에 의해서 첫 번째 사분면에 대해서만 고려하면 은 가 된다. 우리가 찾고자 하는 b는 인 경우이므로
문제 5-1-24> 두개의 포물선 과 으로 둘러싸인 영역의 넓이가 576이 되게 하는 c의 값을 구하여라.
풀이> 위의 두 식에서 c를 -c로 바꾸어도 그래프가 변하지 않고 또 c=0인 경우에는 곡선에 의한 영역이 없으므로 먼저 c>0이라고 가정하자.
그래프로부터 영역의 면적 A는 x=-c에서 x=c 사이가 되고 대칭성에 의해서 이는 1사분면의 면적의 4배가 된다. 따라서
그러므로
문제 5-1-25~26> 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그림으로 나타내고, 그 영역의 넓이를 구하여라.
문제 25> ,,
풀이>
문제 26> ,
풀이>곡선은
일 때 서로 한다. 따라서 면적

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미분,   적분,   미적분학