미적분학 2-8

소개글

미적분학 2-8에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

라.
문제 17>
풀이>
문제 18>
풀이>
문제 19>
풀이>
문제 2-8-20> 처음 몇 개의 도함수를 관찰하고, 주어진 도함수를 구하여라.
풀이>라고 하자.
그러면
의 미분은 주기 4로 반복되고 103 = 4(25)＋3 이므로
이고
이다.
문제 2-8-21> 자동차가 정지상태에서 출발하고 그것의 위치함수 그래프가 아래와 같다. 이 때, s의 단위는 ft이고, t의 단위는 초이다. 이것을 이용하여 속도의 그래프를 그리고 속도 그래프로부터 2초 후의 가속도를 계산하여라. 그런 후 가속도 함수의 그래프를 그려라.
풀이>t=1,2,3,4,5에서 위치함수 f의 접선의 기울기를 측정해서 속도 그래프를 그린다.
t=2에서의 가속도는 t=2에서 속도함수의 접선의 기울기이다.
문제 2-8-22~23> 물체에 대한 운동방정식이 주어져 있다. (s의 단위는 m이고, t의 단위는 초이다.)
a) t의 함수로서 속도와 가속도를 구하여라.
b) V초 후의 가속도를 구하여라.
c) 속도가 0이 되는 순간의 가속도를 구하여라.
문제 22>
풀이> a)
b)
c) 즉 t=2 또는 3
문제 23>
풀이> a)
b)
c)
따라서
문제 2-8-24> 운동방정식이 아래와 같이 주어져 있다.(s와 t의 단위는 각각 m와 초이다.)
a) 가속도가 0이 되는 시간을 구하여라.
b) 이 시각에서 변위와 속도를 구하여라.
풀이>a)
즉 t=0 또는 2
b)
문제 2-8-25> t가 초이고 s가 m로 주어질 때, 입자가 운동법칙
에 따라 움직인다.
a) 시간 t에서의 가속도를 구하고 3초 후의 가속도를 구하여라.
b) 의 구간에서 위치, 속도, 가속도 함수를 그려라.
c) 언제 입자의 속도가 빨라지는가? 언제 느려지는가?
풀이>a)
b)
c) v와 a가 같은 부호일 때 속도는 빨라진다. 즉, 2 < t < 4 일 때와
t > 6 일 경우이다.
v와 a가 다른 부호일 때 속도는 느려진다. 즉, 와
4 < t < 6 일 경우이다.
문제 2-8-26> 수직 스프링에 연결된 물체가 위치함수 를 갖는다. 이 때, A는 진폭이고, 는 상수이다.
a) 시간의 함수로서 속도와 가속도를 구하여라.
b) 가속도는 변위 y에 비례함을 보여라.
c) 가속도가 0일 때 속력이 최대임을 보여라.
풀이>a)
b)
따라서 a(t)는 y(t)에 비례한다
c) 는 일 때 최대가 된다.
그러나 일 때 이고
이 된다.
문제 2-8-27> 인 2차 다항식 P를 구하여라.
풀이>라고 하면
따라서 이다.
문제 2-8-28> 방정식 는 미지함수 y와 그것의 도함수들 을 포함하고 있기 때문에 미분방정식이라 한다. 함수 가 이 방정식을 만족하는 상수 A와 B를 결정하여라.
풀이>
위 결과를 원식에 대입하면 이므로
따라서 이다.
문제 2-8-29~30> g는 두 번 미분가능하다. 으로 나타내어라.
문제 29>
풀이>
문제 30>
풀이>
문제 2-8-31> a) 함수 에 대해 계산들이 대수적으로 다루어질 수 없음을 알게 될 때까지 처음 몇 개의 도함수를 계산하여라.
b) 도함수들을 더 쉽게 계산하기 위하여 항등식
이용할 수 있다. 대한 표현을 구하여라. 분수를 부분분수라고 부르는 더 간단한 분수로 분리하는 방법을 7.4절에서 자세히 다루겠다.
풀이>a)
b)
문제 2-8-32> p를 f가 p-번 미분가능하고 가 되는 양의 정수라 하자. 수학적 귀납법을 이용해 f는 실제로 모든 양의 정수 n에 대해 n-번 미분 가능함을 보이고 이것의 고계 도함수 은 p개의 함수 중의 하나와 같다는 것을 증명하여라.
풀이> 우리는 모든 양의 정수 n 에 대해서 n번째 미분인 이 존재하고 이것이
중의 하나와 같다는 것을 보일 것이다.
이므로 f의 p번까지 미분들은 이다.
위의 주장은 n = 1 일 때 참이다.
k를 인 정수이고 f를 k번까지 미분 가능한 는 집합
안에 있다고 가정하자.
그러면 f가 p번까지 미분 가능하므로 S의 모든 멤버(도 포함)들은 미분 가능하다.
따라서 도 존재하고 이것은 S 멤버의 어떤 미분과 일치한다.
가 집합 안에 있고 이므로 이 집합은 S와 같다.
위 주장은 n=1일 때 참이라는 것을 보였다. 그리고 n = k 일 때 참이면 n = k + 1 일 때도 참이라는 것을 보였다.
따라서 수학적 귀납법에 의해 위 주장은 모든 양의 정수 n에 대해서 참이다.
문제 2-8-33> 이고 이다. 이 때 f와 g는 두 번 미분 가능하다.
임을 보여라.
풀이>연쇄 법칙에 의해서 이다. 따라서
곱의 법칙

키워드

미적분학,   미분,   적분