미적분학 7-1

목차

문제 7-1-1> u와 dv의 지적된 선택에서 부분적분법을......
<풀이>
문제 7-1-2~16> 다음 적분을 계산하여라.
<풀이>
.
.
.

중략

.
.
.
문제 7-1-33> 원주각을 이용하여 공식 5.3절의 공식2의.....
<풀이>

본문내용

문제 7-1-1> u와 dv의 지적된 선택에서 부분적분법을 사용하여 를 계산하여라.
(u = ln x, dv = xdx)
풀이>라고 하면 , 이고, 식2에 의해서
문제 7-1-2~16> 다음 적분을 계산하여라.
문제 2>
풀이>, 라면 , 이므로
문제 3>
풀이>, , 이므로
문제 4>
풀이>, , 이므로
----(1)
, , 이므로
를 (1)에 대입하면
()
문제 5>
풀이>, 이므로
문제 6>
풀이>이므로
문제 7>
풀이>먼저 이므로 식2에 의해서
다시 이므로
따라서
()
문제 8>
풀이>이므로
다시 이므로
이고 이를 위 식에 대입하면
따라서 ()
문제 9>
풀이> 이므로
문제 10>
풀이>이므로
문제 11>
풀이>이므로
문제 12>
풀이>이므로
문제 13>
풀이>이므로
()이므로
문제 14>
풀이>이므로
문제 15>
풀이>이고 d 이므로
문제 16>
풀이>
이므로
따라서
문제 7-1-17~18> 치환을 한 다음 부분적분법을 이용하여 다음 계산을 하여라.
문제 17>
풀이>라고하면 이고 이므로 이다.
다시 라고 하면 이므로
문제 18>
풀이>라고 하면 이므로
다시 라고 하면 이므로
문제 7-1-19~20> 다음 적분을 계산하고 함수와 그 역도함수(C=0으로 택하여라.)의 그래프를 그려 확인하여라.
문제 19>
풀이>이므로
따라서 그래프는 피적분함수f가 0일 때 극값을 갖는다.
문제 20>
풀이>이므로
그래프는 피적분함수f가 음수에서 양수로 바뀔 때 극소값을 갖는다.
문제 7-1-21> a) 예제6의 점화식을 이용하여
임을 보여라.
b) (a)의 점화식을 이용하여 를 계산하여라.
풀이>a) n=2이면 예제6으로부터
b)
문제 7-1-22> a) 예제 6의 점화식을 이용하여
임을 보여라.
b) (a)를 이용하여 , 를 구하여라.
c) a)를 이용하여 sine의 홀수 멱승일 때,
임을 보여라.
풀이>a)
b) a)에서 n=3을 사용하면
a)에서 n=5을 사용하면
c) 이 식은 (b)에 의해서 n=1일 때(즉, 2n+1 = 3) 성립한다.
이 식이 일 때 성립한다고 가정하면
이고 예제 6에 의해서
따라서 위 식은 n=k+1일때도 성립하므로 귀납법에 의해서 이 식은 일 때
도 성립한다.
문제 7-1-23~24> 부분적분법을 이용하여 점화식들을 증명하여라.
문제 23>
풀이>
문제 24>
풀이>이므로
(이므로)
(단 )
문제 7-1-25> 연습문제 23을 이용하여 를 구하여라.
풀이>n=3으로 잡으면 연습문제 7에 의해서
문제 7-1-26> 주어진 곡선으로 둘렀인 부분의 넓이를 구하여라.
,,
풀이>넓이 =
이므로
넓이 =
또는
문제 7-2-27> 그래프를 이용하여 주어진 두 곡선의 교점중 x좌표의 근사값을 찾고, 주어진 곡선에 의하여 이루어진 영역의 넓이를 추정하여라.
,
풀이>곡선 과 은 과 에서 교차한다.
따라서 넓이=
문제 7-2-28~29> 원주각의 방법(cylindrical shell method)을 이용하여 주어진 곡선으로 둘러싸인 부분을 주어진 회전축의 주위로 회전시켜 생긴 입체의 부피를 구하여라.
문제 28> ,y=0, ; 회전축 : y축
풀이>
문제 29> ,y=0,x=-1,x=0; 회전축 : x=1
풀이>
문제 7-1-30> 구간[1, 3] 위에서 의 평균값을 구하여라.
풀이>
이므로
따라서
문제 7-1-31> 직선을 따라 움직이는 질점이 t초 후 초당 속도 를 가진다. 첫 t초 동안 얼마나 움직이는가.
풀이>모든 t에 대해서 v(t)>0이므로
먼저 이므로
이고
다시 이므로
미터
문제 7-1-32> f(1)=2, f(4)=7, , 이고 이 연속이라고 가정하자.
의 값을 구하여라.
풀이>에 대해서 이므로
문제 7-1-33> 원주각을 이용하여 공식 5.3절의 공식2의 를 얻었으나 f가 1:1이고 따라서 역함수g를 가지는 경우에는 부분적분법을 이용하여 5.2절의 공식3으로부터 이것을 유도할 수 있다. 그림을 이용하여
임을 보여라.
y=f(x)로 치환한 뒤 얻어진 적분식에 부분적분법을 이용하여 5.3절의 공식 2를 증명하여라.
풀이>부피 =
라고 하면 이고 이므로
이다.
이제 이고
이고
, 이므로

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