미적분학 6-5

본문내용

문제 6-5-1~5> 다음 식들의 정확한 값을 구하여라.
문제 1> a) b)
풀이>a) 이고 이 안에 있으므로
b) 이고 가 안에 있으므로
문제 2> a) b)
풀이>a) 이고 이 안에 있으므로
b) 이고 가 안에 있으므로
문제 3> a) b)
풀이>a)
b)
문제 4>
풀이>이라고 하면
문제 5>
풀이>이라고 하면
문제 6-5-6> 임을 증명하여라.
풀이>라고 하면 이므로
문제 6-5-7> 을 간단히 하여라.
풀이>라고 하면 이므로 직각삼각형 그림에 의해서
문제 6-5-8> 다음 함수의 그래프를 동일 좌표평면 위에 그리고 어떻게 연관되어 있는지를 조사하여라.
풀이>의 그래프는 그래프를 직선 y = x에 대해서 대칭시킨 것이다.
문제 6-5-9> 식 3을 구하기 위해 이용한 방법으로 의 도함수에 대한 식 6을 증명하여라.
풀이>라고 하면
(에서 )
문제 6-5-10> 을 증명하여라.
풀이>라고 하면
문제 6-5-11> 을 증명하여라.
풀이>라고 하면
( 의 정의역에서 )
문제 6-5-12~18> 다음 함수의 도함수를 구하여라. 가능한 한 간단히 하여라.
문제 12>
풀이>
문제 13>
풀이>
문제 14>
풀이>
문제 15>
풀이>
문제 16>
풀이>
문제 17>
풀이>
문제 18> ,
풀이>
이므로
이므로
따라서
문제 6-5-19> 함수 의 도함수를 구하고 함수와 그 도함수의 정의역을 구하여라.
풀이>
g의 정의역 =
g'의 정의역 =
문제 6-5-20> 함수 일 때, 을 구하여라.
풀이>
문제 6-5-21> 함수 의 도함수의 을 구하고 f와 f'의 그래프를 비교하여 답이 타당한지 확인하여라.
풀이>
f가 증가할 때 f'은 양수이고 f가 감소할 때 f'은 음수이므로 위 답은 타당하다.
문제 6-5-22~23> 다음의 극한을 구하여라.
문제 22>
풀이>
문제 23>
풀이>라고 하면 일 때 이므로
문제 6-5-24> 아래 그림에서 각 을 최대로 하려면 점 P을 AB 위 어느점으로 잡아야 하겠는가?
풀이>그래프로부터
(이므로 제외)
일 때 이고일 때 이므로
일 때 가 극대임
문제 6-5-25> 10ft 길이의 사다리가 수직벽에 기대어 있다. 만일 사다리 밑끝이 벽으로부터 2ft/s 의 속력으로 미끄러지면서 멀어진다면 벽에서 사다리 밑끝까지의 거리가 6ft가 되는 순간에 사다리와 벽이 이루는 각이 얼마나 빠르게 변화하겠는가?
풀이>,
문제 6-5-26~27> 다음 곡선을 3.5절 지침 A~H의 내용에 따라 조사하여라.
문제 26>
풀이>A) 정의역 = {}
이므로 이므로
정의역 D=
B) 절편은 0
C) 대칭아님
D) 이므로
가 수평점근선
E)
따라서 에서 f는 증가
F) 극대 극소는 없음
가 최대값
G)
따라서 f는 에서 아래로 오목
문제 27>
풀이>A) D=R
B) 절편은 0
C) f(-x) = -f(x) 이므로 원점에 대해서 대칭
D)
이므로 수평점근선은 없으나
일 때
일 때 이므로
가 점근선임
E) 이므로 f는 정의역에서 증가
F) 극값없음
G) 이므로
f는 에서 위로 오목, 에서 아래로 오목
(0, 0)에서 변곡점
문제 28> 일 때 f, f'과 f''의 그래프를 이용하여 f의 최대값, 최소값과 변곡점의 x좌표를 구하여라.
풀이>f'의 그래프로부터 x=0에서 극대값이 나타나고 에서 극소값이 나타난다.
f''의 그래프로부터 에서 변곡점이 보인다.
문제 6-5-29> 의 부정적분을 구하여라.
풀이>
문제 6-5-30~35> 다음 적분을 구하여라.
문제 30>
풀이>
문제 31>
풀이>라고 하면 이므로
문제 32>
풀이>라고 하면 이므로
문제 33>
풀이>
문제 34>
풀이>이라고 하면 이므로
문제 35>
풀이>라고 하면 이므로
문제 6-5-36> 예제 9의 방법을 이용하여 a>0 이면 임을 보여라.
풀이>라고 하면 이므로
문제 6-5-37> 적분 을 넓이로 생각하고 x 대신에 y에 관하여 적분함으로써 계산하여라.
풀이>위 적분은 구간 에서 곡선 의 아래쪽 면적을 나타낸다.
곡선 이고 y=0과 x=1로 둘러싸여 있는 면적이다.
y의 치역은 과 이므로 함수 를 y=0과 사이에서 적분하면 된다. 즉,
문제 6-5-38> 다음을 증명하여라.
(힌트: 이고 좌변이 와 사이에 놓여있다면
)
a)
b)
풀이>a)
b)
문제 6-5 39> 예제 7의 방법을 이용하여 항등식 임을 증명하여라.
풀이>라고 하면
[이므로]
모든 에 대해서 이므로 f(x)=C이다.
C를 구하기 위해서 x=0 으로 놓으면 이다.
따라서
문제 6-5-40> 어떤 사람들은 으로 정의한다. 만일 이렇게 정의하면 임을 보여라.
풀이>
이므로
이고 이므로 이고

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미적분학,   미분적분학,   솔루션