미적분학 9-4

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미적분학 9-4에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

문제 9-4-1~2> 다음 주어진 영역 내에서 곡선으로 둘러싸인 부분의 면적을 구하여라.
문제 1>
풀이>
문제 2>
풀이>
문제 9-4-3~4> 빗금친 부분의 넓이를 구하여라.
문제 3>
풀이>
문제 4>
풀이>
[정리4.5.6 (b)]
[정리4.5.6 (a)]
문제 9-4-5~7> 곡선을 그리고, 또 그 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
문제 5>
풀이>로 둘러싸인 극축 위쪽의 넓이는 에서 까지이다.
대칭성에 의해서
문제 6>
풀이>곡선 는 일 때 극점을 통과하므로 우리는 에 대해서 면적을 구하고 4배를 할 것이다.
문제 7>
풀이>곡선의 전체 면적은 극축과 에서 까지의 면적의 6배 이다.
문제 9-4-8> 곡선 의 개형을 그리고, 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
풀이>
문제 9-4-9~11> 주어진 곡선의 하나의 고리(loop)에 의하여 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
문제 9>
풀이>곡선 의 고리 하나의 면적은 에서 까지이므로
문제 10>
풀이>
문제 11> (inner loop)
풀이>이 곡선은 limacon으로 r=0을 풀면 내부 고리는 에서 까지이므로
문제 9-4-12~14> 첫 번째 곡선의 내부와 두 번째 곡선의 외부에 있는 영역의 넓이를 구하여라.
문제 12>
풀이>또는 ()
문제 13>
풀이>두 곡선은 과 r=2일 때 즉, 일 때 교차한다.
의 경우또는
또는
그림으로부터 원하는 면적은 에서 까지의 면적읜 4배라는 것을 알 수 있다.
문제 14>
풀이>또는
문제 9-4-15~17> 두 곡선의 내부에 있는 영역의 넓이를 구하여라.
문제 15>
풀이>
문제 16>
풀이>
문제 17>
풀이>
문제 9-4-18> limacon 의 작은 고리의 외부와 큰 고리의 내부의 넓이를 구하여라.
풀이>큰 고리의 에서 까지의 면적은 구하려는 면적의 에 내부 고리 면적은 를 더한 넓이이다. 그러므로 위 면적에서 내부 고리 면적(까지)의 를 뺄 것이다. 그리고 두배를 하면 원하는 면적이 된다.
문제 9-4-19~21> 주어진 곡선들의 교점을 모두 구하여라.
문제 19>
풀이>(0,0)이 첫 번째 식을 만족하고 ()이 두 번째 식을 만족하므로 두 원은 극점에서 교차한다. 또 다른 교점은 인 이다.
문제 20>
풀이>가 를 만족하고 (0,0)이 를 만족하므로 두 곡선은 극점에서 교차한다.
또는
또다른 교점들은 이다.
문제 21>
풀이>극점은 교차점이다. 그리고
또는
과 도 또 다른 교차점들이다.
문제 9-4-22> 심장형 와 spiral loop , 의 교점은 정확히 구할 수 없다. 그래프를 그리는 도구를 사용하여 곡선이 교차하는 부분의 의 근사값을 구하여라. 그리고 이 값을 이용하여 두 곡선의 내부에 놓여있는 부분의 넓이를 구하여라.
풀이>그래프로부터 극점은 하나의 교차점임을 알 수 있다. 그래프를 확대해서 교차점의 값은 와 를 찾을 수 있다. (첫번째 값은 와 를 직교좌표계에 그려서 좀더 쉽게 추정할 수있다.)
대칭성에 의해서 총 면적은 일사분면의 면적의 두배이다. 즉
문제 9-4-23~24> 극곡선의 길이를 구하여라.
문제 23>
풀이>
문제 24>
풀이>
[]
문제 9-4-25~26> 계산기나 컴퓨터를 이용하여 다음의 곡선의 길이를 소수점 아래 넷째 자리까지 정확하게 계산하여라.
문제 25>
풀이>곡선 는 에서 완전히 일주한다.
문제 26>
풀이>곡선 는 에서 완전히 일주한다.
문제 9-4-27> 곡선 의 개형을 그리고, 이 곡선의 길이를 구하여라.
풀이>곡선는 에서 완전히 일주한다.
[ 에서 이므로]
[ ]
문제 9-4-28> a) 공식 9.2절의 식 7을 이용하여, 극곡선
(여기에서 f\'은 연속이고, 이다.)를 극축의 중심으로 회전하여 얻어지는 곡면의 넓이가
임을 보여라.
b) (a)의 공식을 이용하여 쌍엽곡선 를 극축을 중심으로 회전하여 얻어지는 곡면의 넓이를 구하여라.
풀이>a)
b) 곡선 는 일 때 극점을 지난다.
곡선을 에서 까지 회전 시키고 두배를 함으로써 전체 면적을 구한다.

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미적분학,   미분적분학,   솔루션