미적분학 7-4

본문내용

을 계산하여라.
문제 4>
풀이>
문제 5>
풀이>양변에 를 곱하면
이고
이식에 x=2를 대입하면 -7 = 7B 이므로 B=-1
x=-5를 대입하면 -14 = -7A 이므로 A = 2를 얻는다. 따라서
문제 6>
풀이>양변에 (x+1)(x-1)을 곱하면
a = A(x-1) + B(x+1)이고 x=1을 대입하면 1=2B 이므로 B=이고
x=-1을 대입하면 1 = -2A 이므로 A = 이다. 따라서
또는
문제 7>
풀이>
문제 8>
풀이>
x=-1을 대입하고 식을 풀면 를 얻으므로
문제 9>
풀이>
y=0을 대입하면 -12 = -6A이므로 A=2
y=-2를 대입하면 18=10B 이므로
y=3을 대입하면 3 = 15C 이므로 C = 이다. 따라서
문제 10>
풀이>
x=-5를 대입하면 1 = -6B 이므로 B =
x=1을 대입하면 1 = 36C 이므로 C =
x= -2를 대입하면
이므로 A =
문제 11>
풀이>
x=-2를 대입하면 C = 3이고
x=0을 대입하면 B = -1이고
5 = A+C 이므로
문제 12>
풀이>
x=-1을 대입하면 C = 1이고 나머지 식을 풀면
A = 1이고 B = -2이므로
문제 13>
풀이>
x에 1을 대입하면 10A = 10이므로 A=1
x에 0을 대입하면 10 = 9A-C C = 9(1) - 10 = -1
(1)에서 의 계수를 비교하면 0 = A+B이므로 B = -1이다. 따라서
문제 14>
풀이>
위 식에서 계수를 비교하면
B+D=1
2A+C=22B+D=1에서
A=1, C=0, B=0, D=1 이므로
의 경우 이라고 하면 이므로
의 경우 식10의 경우에서 a=라고 하면
따라서
문제 15>
풀이>
문제 16>
풀이>
x=1을 대입하면 이고 고 상수의 계수를 비교하면
에서 이다. 따라서
문제 17>
풀이>
문제 18>
풀이>
x=1을 대입하면 C=
x=-1을 대입하면
의 계수를 비교하면
x=0을 대입하면 B=-1
문제 19>
풀이>[u=x+1]
[]
문제 7-4-20~24> 치환을 하여 피적분함수를 유리함수로 나타낸 다음 적분을 계산하여라.
문제 20>
풀이>
문제 21>
풀이>
-----(1)
에서
계수를 비교하면 이고, 이를 풀면
따라서 가 되고 (1)은
또는
문제 22>
풀이>이라고 하면
문제 23> [힌트: 로 치환하여라.]
풀이>라고 하면
문제 24>
풀이>
문제 7-4-25> 이 절에의 기법과 부분적분법을 사용하여 적분
를 구하여라.
풀이>라고 하고 라고 하면
, 이고 부분적분법에 의해서
[ ]
문제 7-4-26> 의 그래프를 이용하여 가 양 또는 음의 값을 갖는지 결정하여라. 또, 그래프를 사용하여 적분값을 추정하고, 부분분수를 이용하여 정확한 적분값을 구하여라.
풀이>그래프로부터 적분값은 음수이란 것을 알 수 있고, 면적은 폭이 2이고 높이가 0.3인 사각형과 거의 같을 것이라고 가정하면 적분값은 으로 추정된다.
이므로 A= -B, A-3B = 1 이므로
문제 7-4-27> 완전제곱과 공식6을 사용하여 다음 적분을 계산하여라.
풀이> [ u = x-1 ]
문제 7-4-28> 독일 수학자 바이어스트라스(1815~1897)는 치환 에 의하여 와 의 유리함수가 t에 대한 보통의 유리함수로 변환됨을 알았다.
a) , 일 때 직각삼각형을 그리거나 삼각항등식을 이용하여
,
임을 보여라.
b) , 임을 보여라.
c) 임을 보여라.
풀이>a) 라고 하면 이다. 직각삼각형 그림으로부터
이고 이 된다.
b)
c)
문제 7-4-29~30> 연습문제 28을 이용하여 다음을 구하여라.
문제 29>
풀이>라고 하고 연습문제 28의 식을 사용하면
문제 30>
풀이>라고 하고 연습문제 28에 의해서
문제 7-4-31> a에서 b까지의 주어진 곡선 아래부분의 넓이를 구하여라.
,a=2, b=3
풀이>에서 이므로
넓이 =
문제 7-4-32> 살충제를 쓰지 않고, 곤충의 개체수의 증가를 억제시키는 한 가지 방법은 새끼를 낳을 수 이TG는 암놈과 짝짓기는 하되 새끼는 낳을 수 없도록 불임의 수놈을 다수 그 개체군에 투입하는 방법이다. P를 암놈의 수, S를 각 세대에 투입된 불임 수놈의 수. Y를 그 집단의 자연증가율이라고 한다. 그러면 암놈의 개체수와 시간 t 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다. 즉
암놈 10,000마리의 곤충집단이 증가율 Y = 0.10으로 증가한다고 하자. 또 900마리의 불임 숫놈이 투입되었다고 하자. 적분을 계산하여 암놈 개체수와 시간과의 관계를 나타내는 방정식을 구하여라.
풀이>
이고 이므로
일 때 P=10,000이므로
따라서
그러므로
문제 7-4-33> a) CAS를 이용하여 주어진 함수를 부분분수로 분해하여라.
b) a)를 이용하여 를 구하고 f와 그 부정적분을 같은 화면에 그려라.
c) f의 그래프를 이용하여 의 그래프의 중요한 성질들을 찾아내어라.
풀이>a) Maple에서 f(x)를 정의하고, convert(f, parfrac, x) 를 사용하면
Mathematica에서는 Apart명령을 사용하고
Deriver에서는 Expand명령을 사용한다.
b)
=
　　
CAS를 이용해서 다음을 얻는다.
이 답의 차이점은 절대값 기호와 적분상수가 제외된 것이다.
그리고 비율이 줄어들고 분모가 정교화 된 것이다.
문제 7-4-34> F, G, Q 가 다항식이고, Q(x) = 0 인 x를 제외하고는
라 하자. 이때 모든 x에 대하여 F(x) = G(x)임을 증명하여라. (도움말: 연속성을 이용하여라.)
풀이>Q(x)=0 (Q가 0항 다항식이 아니라고 가정하자.) 인 여러 개의 한정된 수의 x값들이 존재한다.
다른 x값에 대해서는 F(x)/Q(x) = G(x)/Q(x) 이다. 따라서 F(x) = G(x) 이다.
다른 말로하자면 F와 G의 값들은 한정된 수의 x값들을 제외하면 F와 G는 일치한다. F와 G의 연속성에 의해 다항식 F와 G는 이들 값들에서 역시 일치해야한다.
더 명확하자면 만약 a가 Q(a)=0인 x 값이라고 하면 a에 충분히 가까운 모든 x들에 대해서 이다.
따라서 [F의 연속성에 의해서]
[인 경우에 ]
[G의 연속성에 의해서]

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