미적분학 9-1

소개글

미적분학 9-1에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

> a, b가 고정된 수일 때, 그림에서 점P의 모든 가능한 위치들로 구성된 곡선의 매개방정식을 구하여라. (이 때 각 를 매개변수로 사용하여라.)
풀이>와 처럼 보인다.
그림에서 이고 이므로
매개변수 방정식은 이다.
를 소거하기 위해서 과
으로 다시 정리한다. 그리고 두 식을 더하면
이되므로 우리는 타원을 갖는다.
문제 9-1-21> 그림에서와 같이 점 P의 모든 가능한 위치들로 된 곡선이 있다고 하자.（이것을 ‘witch of Maria Agnesi\' 라 부른다. 이 곡선에 대한 매개방정식이
와 같이 주어짐을 보여라. 도 곡선을 그려라.
풀이>이므로 P의 x좌표 이다.
B=(0, 2a)라고 하자. 그러면 는 직각이고 이므로
이고 이다.
따라서 P의 y좌표 이다.
문제 9-1-22> 시간 t에 대한 한 질점이
이고, 또 한 질점이
로 주어져 있을 때 다음을 구하여라.
a) 두 질점에 대한 궤적을 그려라. 또 교점은 몇 개가 있는가?
b) 이 교점들 중 어느 것이 충돌점(collision points)들 인가? 다시 말해서, 같은 시간에 같은 위치에 놓인 질점들이 있는가? 만약 그런 질점들이 있다면, 그 충돌점을 구하여라.
c) 두 번째 질점의 방향이
일 때, 어떤 상황이 되는지를 기술하여라.
풀이>a) (-3,0)과 (-2.1, 1.4)의 두개의 교점이 있다.
b) 충돌점은 같은 t에 대해서 이고 일 때 나타난다.
따라서 다음 방정식을 풀자.
------(1)
------(2)
(2)로부터 이고 이를 (1)에 대입하면
-----(3)
또는 이다.
는 (1)과 (2)를 만족하지만 는 그렇지 않다.
따라서 충돌점은 에서만 나타난다. 그리고 이는 점 (-3,0)이다.
c) 원은 (-3,1)대신에 (3,1)을 중심으로 갖는다.
그리고 두개의 교점 (3,0)과 (2.1, 1.4)가 있지만
(3)에서 이므로 충돌점은 없다.
문제 9-1-23> 매개변수방정식 로 표시되는 곡선군을 조사하여라. 또 c가 증가할 때 곡선을 어떻게 변하는가? 몇가지 예를 그래프로 나타내 보여라.
풀이>에서 다양한 c값에 대한 그래프를 얻기 위해서 그래프 장치를 이용한다. 모든 곡선군들은 x축에 대해서 대칭이다.
c<0인 경우 그래프는 스스로 교차하지 않지만 c=0인 경우에는 (0,0)에서 첨점을 갖고 c>0인 경우에는 x=c에서 스스로 교차한다. 따라서 고리는 c가 증가할 수록 커진다.
문제 9-1-24> 방정식 로 된 곡선은 Lissajous figures라 불린다. a, b와 n이 변할 때 이 곡선들이 어떻게 변하는지 조사하여라. (n은 양의 정수)
풀이>모든 Lissajous figures는 x축에 대해서 대칭이다. 매개변수 a와 b는 각각 x와 y 방향으로 그래프를 늘린다.
a=b=n=1인 경우에는 그래프는 반경이 1인 원이다.
n=2이면 그래프는 원점에서 스스로 교차하고 x축 위와 아래에 고리가 생긴다.
일반적으로 Lissajous figures는 n-1개의 교차점을 갖고 이들 모두는 y축 위에 있다. 그리고 총 n개의 닫힌 고리를 갖는다.

키워드

미적분학,   미분적분학,   솔루션