미적분학 8-2

본문내용

3.516987이다.
문제 8-2-11> CAS나 적분표를 사용하여 다음의 곡선을 x축 주위로 회전시킴으로써 얻어지는 곡면의 넓이를 정확하게 구하여라.
,
풀이>
[ ]
문제 8-2-12> CAS를 사용하여 다음의 곡선을 y축 주위로 회전시킴으로써 얻어지는 곡면적의 정확한 값을 구하여라. 단, CAS로써 적분의 값을 구하기가 곤란하다면, 구하는 곡면적을 적분 그대로 표시하여라.
,
풀이>이고 이면 이고 이므로
[]
문제 8-2-13> 영역 을 x축 주위로 회전시켰을 때 생기는 입체의 부피는 유한하다. 그러나 이때 생기는 곡면적은 무한함을 보여라. (이 곡면은 아래 그림에 보여지고 있으며 Gabriel의 horn으로 알려져 있다.)
풀이>
이 적분을 계산하는 것 보다는 x>0일 때 이므로 만약 면적이 유한하다면 이다.
그러나 이 적분이 발산함을 알고 있으므로 면적 S는 무한이다.
문제 8-2-14> a) a>0에 대하여, 자폐선인 곡선 을 x축 주위로 회전시켜 생기는 곡면적을 구하여라.
b) y축 주위로 자폐선을 회전시켜 생기는 곡면적을 구하여라.
풀이>a>0 이므로 곡선 는 인 점들만을 가진다.
( )
y를 -y로 바꾸어도 위 식에 변화가 없으므로 곡선은 x축에 대해서 대칭이다.
x=0일 때 y=0 이거나 y=a 이므로 곡선의 자폐선은 x=0에서 x=a까지이다.
,
a)
자폐선의 위쪽 반을 x축으로 회전시켰으므로 이는 전체 표면적을 나타낸다.
b) y축 주위로 회전시키는 경우에는 전체 자페선을 회전시켜야만 자폐선의 위쪽
반을 회전시켜서 얻는 면적의 두배를 얻는다.
문제 8-2-15> 타원 , a>b 을 x축 주위로 회전시켜 생기는 곡면을 타원면(ellipsoid)이라고 하는데 이 타원면의 표면적을 구하여라.
풀이>
타원면의 표면적은 타원의 일사분면 부분을 x축에 대해서 회전 시켜서 얻어지는 면적의 두배이다. 따라서
[ ]
문제 8-2-16> 곡선 , 를 수평직선 주위로 회전시켰을 때 생기는 곡면의 넓이 공식을 구하여라.
풀이>식(4)의 유도에서 에 대신에 를 적용하면
문제 8-2-17> 원 을 직선 y=r 주위로 회전시켰을 때 생기는 곡면적을 구하여라.
풀이>위쪽 반원에 대해서 이므로 반원의 표면적은
아래쪽 반원에 대해서 이므로
이다. 따라서 전체 면적은
문제 8-2-18> 공식 4는 일 때만 해당이 된다. f(x)가 반드시 양이 아니더라고 곡면적의 공식이
임을 보여라.
풀이> 이므로 이다. 따라서

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미적분학,   미분적분학,   솔루션