미적분학 10-3

목차

1~20번 풀이

본문내용

<풀이> 은 [1,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수이다.
따라서 적분판정법을 적용하면,
5~12. 급수의 수렴, 발산을 판정하라.
5.
<풀이> 위는 p=0.85≤1인 p-급수이다.
∴ 정리 (1)에 의해 발산하므로 도 발산한다.
6.
<풀이> 이므로 p=3>1인 p-급수이다.
∴ 정리 (1)에 의해 수렴한다.
7.
<풀이>
모두 수렴하기 때문에 (∵p=3>1, p=5/2>1)
는 수렴한다.
8.
<풀이> 는 [1,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수이다.
따라서 적분판정법을 적용하면,
∴ 는 수렴한다.
9.
<풀이> 는 [1,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수이다.
∵
따라서 적분판정법을 적용하면,
∴ 는 발산한다.
10.
<풀이> 는 [1,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수이다.
∵
따라서 적분판정법을 적용하면,
∴ 는 수렴한다.
11.
<풀이> 는 [2,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수이다.
∵
따라서 적분판정법을 적용하면,
∴ 는 발산한다.
12.
<풀이> 는 [1,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수이다.
따라서 적분판정법을 적용하면,
∴ 는 수렴한다.
13~14. 수렴하는 급수의 p값을 구하라.
13.
<풀이> 라면, 는 [2,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수이다.
∵
만약 라면, f는 감소함수이고 적분판정법을 사용할 수 있다.
∴ 일 때 즉, 일 때 수렴한다.
14.
<풀이> 만약 라면 이므로 위 급수는 수렴하지 않는다.
또한 일 때도 급수는 발산한다.
만약 라면 은 [1,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는
감소함수이므로 적분판정법을 사용하면,
이 극한은 일 때 즉, 일 때 수렴한다.
15. 의 정의역 구하기
<풀이> 이 함수는 p=x인 p-급수이기 때문에 는 일 때 정의된다.
16.
(a) 는 양의 값을 갖고 연속이며 감소하는 함수이다.
∵
∴ 위 두식의 오차는 0.1에 불과하다.
(b)
∴ : 1.640677과 1.649768의 평균
(c)
일 때 이다.
17. 는 양의 값을 갖고 연속이며 모든 x에 대해 이므로
감소함수이다. 따라서 적분판정법을 적용하면
∴
∴
중점에 의해 s를 추정하면
∴ n=14
∴
18.
<풀이> 은 p=1.001>1인 p-급수로 수렴한다.
(2)를 이용하면,
19.
(a) 라 하면,
∴
(b) (a)로부터
20.
<풀이>
이는 모든 b에 대해 수렴하는 p-급수로

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