미적분학 10-2

목차

10-2. 급수

본문내용

열이 수렴하는 수열을 말하고, 발산하는 수열은 부분합
의 수열이 수렴하지 않는 수열을 말한다.
2~4. 그래프 생략
2. -2로 수렴한다.
3. 은 발산한다.
4.
이다.
5. (a)
∴ 은 수렴한다.
(b) 이므로, 정리 (7)에 의해 은 발산한다.
6~7, 수렴, 발산 판정
6.
<풀이> 위 수열은 공비 인 공비수열이다.
이므로, 이 수열의 급수는 에 수렴한다.
7.
<풀이> 위 수열은 인 등비수열이다.
이므로, 정리 (4)에 의해 위 수열은 발산한다.
8.
<풀이> 이 수열은 인 등비수열이다.
이므로 급수는 에 수렴한다.
9.
<풀이> 뒤의 수열은 인 등비수열이다.
이므로 급수는 이고, 에
수렴한다.
10.
<풀이> 위의 수열은 인 등비수열이다.
이므로 급수는 발산한다.
11.
<풀이> 이므로 정리 (7)에 의해 발산한다.
12.
<풀이>
이 합은 telescoping series 이고 이다.
∴ 이다.
13.
<풀이> 이므로 발산한다.
14.
<풀이>
15.
<풀이>
따라서 이 수열은 발산한다.
16.
<풀이> 이므로 발산한다.
17.
<풀이>
두 번째 수열은 인 등비수열이므로
18~20
18. 이므로 인 등비수열이다.
19.
20.
21~23 수렴하는 x값을 구하고 급수의 합을 구하라.
21.
<풀이> 은 인 무한급수이므로,
일 때 수렴하고, 이 급수의 합은
이다.
22.
<풀이> 은 인 무한급수이므로,
이고, 이 급수의 합은
이다.
23.
<풀이> 은 인 무한급수이므로, 모든 x에 대해
이고, 이 급수의 합은
이다.
24.
이다.
25. 인 모든 에 대해 일 때 이기 때문에 이다.
26.
(a)
(b)
만약 c=0.8이면, s=1-c=0.2이고, 승수 k=1/s=5이다.
27.
<풀이> 는 인 등비급수이므로
일 때 수렴한다.
그러나 는 이므로 조건을 만족시키지 못한다.
∴ 이다.
28. 생략
29.
<풀이> 인 수열은 인 등비수열이므로 발산한다.
∴ 이라고 할 수 없다.
30.
<풀이>
31.
<풀이> 이 수렴한다고 가정하면, 와 은 수렴하는 급수이다.
∴ 정리 (8)에 의해 또한 수렴한다.
그런데 이므로 이 발산한다는 조건에 모순이 발생
한다.
∴ 는 발산한다.
32.
<풀이> 모든 n에 대해 이므로 부분합 {}은 증가수열이다.
또한 {}은 모든 n에 대해 이므로 유계이므로 정리 (11)에 의해
부분합의 수열은 수렴한다.
∴ 은 수렴한다.
33.
(a) 첫 번째 제거되는 길이
두 번째 제거되는 길이
세 번째 제거되는 길이
n 번째 제거되는 길이
이 수열은 인 등비수열이고 0과 1은 제거되지 않는다.
또한 칸토어 집합에 있는 원소들은 이다.
(b) 첫 번째 제거되는 면적
두 번째 제거되는 길이
세 번째 제거되는 길이
n 번째 제거되는 면적
∴ 제거되는 총면적은
34.
(a) 에 대해
이므로
이 됨을 추측할 수 있다.
(b) n=1에 대해 로 위 공식이 적용된다.
n=k+1에 대해
∴ 위 공식에 대한 추측은 정당하다.
(c)
∴

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