미적분학 9-3

본문내용

풀이>
문제 19>
풀이>
문제 20>
풀이>
문제 21>
풀이>
문제 22>
풀이>
문제 23>
풀이>
문제 9-3-24> 다음 그림은 직교좌표에서 의 함수로써 r의 그래프를 나타낸다. 이것을 이용하여 대응하는 극곡선을 그려라.
풀이>에 대해서 r은 약 0.5 근방에서 극소값을 갖는다.
에서 r은 극대값 2를 갖는다.
그래프는 와 에 대해서 닮은 모양을 갖는다.
문제 9-3-25> 극곡선 (conchoid라 한다.)는 직선 x=2를 수직점근선으로 가짐을 임을 보임으로써 확인하여라. 이 사실을 이용하여 conchoid를 대강 그려라.
풀이>
우리는 만 필요하므로
또한 또는
따라서
그러므로 가 수직 점근선임
문제 9-3-26> 곡선 (cissoid of Diocles라 한다.)는 직선 x=1을 수직점근선으로 가짐을 보여라. 또 곡선은 수직띠 사이에 있음을 보여라. 이 사실을 이용하여 cissoid를 대강 그려라.
풀이>x=1이 수직점근선임을 보이기 위해서 을 증명해야 한다.
따라서
또한
따라서
그러므로 이 수직 점근선이다.
또한 모든 에 대해서 이고 모든 에 대해서 임을 주목하자. 그리고 (곡선이 의 홀수배에 대해서 정의되지 않았으므로)
그러므로 곡선은 수직띠 사이에 존재한다.
문제 9-3-27> a) 예제 11에서 그래프들은 limacon 는 |c|>1일 때 내부고리를 가진다는 것을 보여주고 있다.
① 이것을 증명하고,
②이 내부고리에 대응하는 값을 구하여라.
b) 그림 18에서 일 때 limacon은 dimple(오목한 곳)이 상실된다. 이것을 증명하여라.
풀이>a) 우리는 r=0인 원점에서 곡선이 스스로 교차한다는 것을 안다.( 사실 내부 고리는 음수 r에 대응된다.) 따라서 에 대해서 limacon방정식을 풀면
이제 만약 |c|<1이면 이 방정식은 근이 없으므로 내부 고리도 없다.
하지만 c<-1이면 구간에서 방정식은 다음의 두개의 근을 갖는다.
와
그리고 c>1이면 방정식의 근은 와 이다.
각각의 경우 두 근의 사이에서 r<0이고 이는 고리를 의미한다.
b) 에서 dimple이 존재한다면 이는 y가 에서 극대값을 가진다는 것으로 특징지워진다. 그러므로 에서 이 음수가 되는 c값을 결정하자. (이계도함수 판정법으로 이는 극대값을 나타낸다.)
일 때 이는 와 같다. 이는 일때만 음수이다. 같은 논지로 에 대해서 y는 일 때 에서만 (dimple을 의미하는) 극소값을 가진다.
문제 9-3-28~30> 주어진 값에 대하여 극곡선의 접선의 기울기를 구하여라.
문제 28> ,
풀이>
일 때
문제 29>
풀이>
일 때
문제 30>
풀이>
일 때
문제 9-3-31~33> 주어진 곡선위의 점 중에서 수평 또는 수직인 점을 구하여라.
문제 31>
풀이>
또는
또는
따라서 접선은 와 에서 평행하다.
또는
또는
따라서 접선은 (3,0)과 에서 수직이다.
문제 32>
풀이>
또는
, , 에서 수평접선
또는
(2,0), 에서 수직접선
일때는 이므로 접선은 수직이 아니라 수평이다.
문제 33>
풀이>
또는 또는
( )
따라서 에서 접선은 수평이다.
또는
따라서 (1,0), 에서 접선은 수직이다.
문제 9-3-34> 일 때 극방정식 는 원을 나타냄을 보이고, 그 중심과 반지름을 구하여라.
풀이>
이고
이는 중심이 이고 반경이 인 원이다.
문제 9-3-35~37> 그래프 도구를 이용하여 극곡선을 그려라. 또, 완전한 곡선이 되는 매개변수의 구간을 구하여라.
문제 35> (nephroid of French)
풀이>매개변수 구간은
문제 36> (butterfly curve)
풀이>매개변수 구간은
문제 37>
풀이>매개변수 구간은
문제 9-3-38> 와 의 그래프와 의 그래프는 어떤 상관관계가 있는가? 일반적으로 의 그래프와 의 그래프 사이에는 어떤 관계가 있는가?
풀이>의 그래프는 의 그래프와 같은 모양인데 원점을 중심으로 반시계방향으로 만큼 회전한 모양으로 보인다.
동일하게 그래프는 만큼 회전한다.
일반적으로 의 그래프는 의 그래프와 같은 모양으로 원점을 중심으로 반시계방향으로 만큼 회전한다. 즉, 이므로 곡선의 모든점 에 대해서 곡선 의 점은 이다.
문제 9-3-39> a) 극방정식 (n: 양의 정수)로 정의된 곡선군을 조사하여라. 도 고리의 수는 n과 어떤 관계가 있는가?
b) 만약 위의 (a)에서 방정식이 로 표시된다면 어떻게 되겠는가?
풀이>a) 그래프로부터 n이 짝수일 때 곡선의 고리의 숫자는 2n이고
n이 홀수일 때 고리의 숫자는 n이다.
이는 n이 홀수일 때 그래프의 모든 점들은 다음과 같은 이유로 두 번 지나가게 되기 때문이다.
b) 의 그래프는 이므로
n이 홀수이거나 짝수일 때 2n개의 고리를 가진다.
문제 9-3-40> 한 곡선군이 다음의 극방정식을 가진다.
이때 수 a가 변하면 그래프는 어떻게 변하는가를 조사하여라. 특히, a의 값으로 인하여 곡선의 기본형태가 변하는데 그때 a의 변화하는 값을 밝혀라.
풀이>a=0에서 시작하면 이 경우에 곡선은 r=1인 원이다.
a가 증가하면 그래프는 왼쪽으로 이동하고 오른쪽은 납작해진다.
a가 커지면서 0.4를 지나면 오른쪽은 dimple로 자라는 것처럼 보인다. (의 범위를 좁혀서 보면 이는 (실제로는 )에서 일어난다.
이면 dimple은 더 명료해지고 곡선은 a=1가 될 때까지 분모가 에서 없어질 때까지 수평으로 늘어난다. 그리고 dimple은 실제 첨점이 된다.
a>1인 경우에는 일 때 (즉 이므로 매개변수의 구간을 잘 선택해야 한다.
a가 1에서 커질 때 곡선은 두부분으로 나뉘어진다.
왼쪽 부분은 a가 증가할 수록 커지는 하나의 고리를 가지고
오른쪽 부분은 수직으로 넓어지고 왼쪽 끝은 (실제로 )에서 dimple이 된다.
a가 커지면 dimple은 점점더 확실해 진다.
a<0이면 양수의 경우와 대응하는 같은 그래프를 극점에 대해서 만큼 회전시킨 그래프를 가진다.
문제 9-3-41> P를 곡선 위의 (원점을 제외한) 임의의 점이라 하자. 를 P에서의 점선과 동경 OP사이의 각이라 할 때
임을 보여라. (도움말: 그림 임을 주목하여라.)
풀이>

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