미적분학 7-7

목차

01~24

본문내용

이용해서 를 두 번 미분하면 를 얻는다. 그래프로부터 의 극대값은 구간 의 끝점에서 나타나는 것을 알 수 있다. 이므로 또는 K=2.8을 사용할 수 있다.
b) CAS는 을 나타낸다. (Maple에서 student[middlesum] 사용)
c) K=e로 정리3을 사용하면 를 얻는다.
K=2.8이면 을 얻는다.
d) CAS는 을 나타낸다.
e) 실제 오차는 약 으로 (c)에서 추정한 값보다 훨씬 작다.
f) CAS로 두 번더 미분하고 그래프를 그리면
그래프로부터 의 극대값은 구간 의 끝점에서 나타나는 것을 볼수 있다. 이므로 K=4e 또는 K=10.9를 쓸 수 있다.
g) CAS는 를 나타낸다. ( Maple에서 student[simpson]을 사용)
h) 정리4와 K=4e를 사용하면 을 얻는다.
K=10.9를 사용하면 를 얻는다.
i) 실제 오차는 약 7.954926521 - 7.953789422 로 (h)에서 구한 추정치보다 훨씬 작다.
j) 을 만족하기 위해서 정리4를 사용하면
이므로 을 만족하기 위해서는
을 택해야 한다.
문제 7-7-13> n=4, 8, 16에서 근사값 을 구하고 이에 대응하는 을 사사오입하여 소숫점 아래 여섯째 자리까지 구하여라. 계산을 다한 후에 어떠한 결론을 내릴 수 있나 알아보아라.
풀이>
n=4:
n=8:
n=16:
관찰 : 1) 과 은 와 과 마찬가지로 항상 반대 부호이다.
2) n이 배가 되면 과 은 2배 정도 감소하고 와 은 4배 정도 감소한다.
3) 중점법칙의 경우 사다리꼴 공식보다 약 2배 정확하다.
4) 모든 근사계산은 n이 증가하면 더 정확해진다.
5) 중점법칙과 사다리꼴 공식이 종점 근사값보다 휠씬 더 정확하다.
문제 7-7-14> n=16, 12에서 근사값 을 구하고 이에 대응하는 를 소숫점 앙래 여섯째 자리가지 사사오입하여 구하여라. 어떠한 결론을 내릴 수 있는가? n이 두배가 되었을 때 에러가 어떻게 변하는지 알아보아라.
풀이>
n
6
12
4.661488
4.665367
4.669245
4.667316
4.666563
4.666659
n
6
12
0.005178
0.001300
-0.002578
-0.000649
0.000104
0.000007
관찰 : 1) 와 은 반대 부호이고 n이 배가 될 때 4배 정도 감소한다.
2) 심슨공식은 중점법칙이나 사다리꼴 공식에 비해서 휠씬 더 정확하고
n이 배가 되면 16배 정도 감소한다.
문제 7-7-15> n=4일 때 각각 (a) 사다리꼴 공식, (b) 중점 법칙, (c) 심손의 공식을 이용하여 다음 그래프에서 곡선의 아래 넓이를 추정하여라.
풀이>
a)
b)
c)
문제 7-7-16> a) 중점법칙과 아래의 자료를 사용하여 적분
의 값을 추정하여라.
x
f(x)
x
f(x)
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
6.8
6.5
6.3
6.4
6.9
2.0
2.4
2.8
3.2
7.6
8.4
8.8
9.0
b) 모든 x에 대하여 일 때 (a)의 근사값의 오차를 추정하여라.
풀이>a) 간격 0.4로 8개 구간에 대한 끝값이 주어졌으므로 중점법칙을 사용하자.
이고
b) 이므로 K=4, a=0, b=3.2, n=4와 정리3으로
문제 7-7-17> 아래 그림은 으로 측정된 자동차의 가속도 a(t)의 그래프이다. 심손의 공식을 이용하여 시간구간 6초 동안의 속도의 증가량을 추정하여라.
풀이>순변화정리에 의해서 속도의 증가는 와 같다. 심슨법칙을 n=6으로 사용하면 이므로
문제 7-7-18> 다음 표는 1999년 12월 8일 자정부터 오전6:00까지 San Die해 County에서 사용된 동력소비량(megawatts)을 보여준다.(Sam Die해 Gas and Electirc 제공) 그 기간 동안 사용된 에너지를 추정하여라.(동력은 에너지의 도함수라는 사실을 이용하여라.)
t
P
t
P
0:00
0:30
1:00
1:30
2:00
2:30
3:00
1814
1735
1686
1646
1637
1609
1604
3:30
4:00
4:30
5:00
5:30
6:00
1611
1621
1666
1745
1886
2052
풀이>순변화 정리에 의해서 에너지는 와 같다. n=12와 심손법칙을 사용하자
메가와트-시
문제 7-7-19> 그림에 있는 영역을 y축으로 회전하여 생기는 입체의 부피를 n=8로 하고 심손의 공식을 사용하여 추정하여라.
풀이>가 곡선이라고 하자. 원주각방법에 의해서
따라서 입방유니트
문제 7-7-20> 곡선 , y=0, x=0, x=2로 둘러싸인 영역을 x축으로 회전하여 생기는 입체의 부피를 n=10으로 하고 심손의 공식을 이용하여 추정하여라.
풀이>
,
문제 7-7-21> Nro의 틈을 가지고 있고 각 인 회절격자를 통해 들어오는 파장이 인 빛의 강도는 이다. 여기서 이고 d는 이웃한 틈 사이의 거리이다. 파장이 인 헬륨-네온 레이저는 간격이 떨어진 10000개의 틈이 있는 회절격자를 통하여 좁은 띠를 발산한다. 여기서 이다. n=10으로 하고 중점법칙을 사용하여 그 격자로부터 나오는 빛의 전체 강도 를 추정하여라.
풀이>, , N=10000, d=,
따라서 ,
n=10이고 이므로
문제 7-7-22> n=2로 하고 사다리꼴 공식이 중점법칙보다 더 정확함을 보여주는 [0, 2]위에서 정의된 연속함수의 그래프를 그려라.
풀이>
문제 7-7-23> f가 양의 함수이고 인 x에 대하여 일 때
임을 보여라.
풀이>구간[a,b]에서 사다리꼴 공식과 중점법칙은 사다리꼴과 세부구간 , i=1,2,...,n에서의 중점법칙의 합이다. 따라서 우리는 이 같은 구간에 주의를 기울이자. 구간 에서의 조건 은 그래프가 아래로 오목이란 것을 의미한다. 이 그림에서 은 사다리꼴AQRD의 면적이고, 은 영역 AQPRD의 면적이고, 은 사다리골 ABCD의 면적이므로 이다.
일반적으로 조건 은 구간 [a, b]에서의 그래프가 (a, f(a))와 (b, f(b))를 연결하는 선의 위쪽에 있다는 것을 의미한다.
따라서 이다.
은 그래프에 대한 접선의 아래쪽 면적이고, 이 접선이 그래프 위에 있다는 것을 의미하므로 가 된다.
그러므로
문제 7-7-24> 임을 보여라.
풀이>
따라서

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