미적분학 3-4

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미적분학 3-4에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

f의 식을 구하여라.
풀이>1) 분자의 차수 < 분모의 차수
2) 분모에 항이 있고(단순히 x인 경우에는 x=0근처에서 부호가 바뀌므로 안 됨), 함수는 x=0 근처에서 음수이다.
3) x=3에서 수직 점근선을 가지므로 (x-3)인자가 분모에 있다.
4) 2는 x절편이다. 따라서 분자에 최소한 하나의 (x-2)인자가 있다.
위의 정보를 다 취합하면 이 하나의 가능성이 된다.
문제 3-4-22~23> 다음 곡선의 수평점근선을 구하고, 그들과 오목성 및 증가, 감소 구간을 사용하여 곡선을 그려라.
문제 22>
풀이>의 정의역은 (-∞,-1)∪ (-1,∞) 이다.
따라서 y=-1이 수평점근선이고 x=-1이 수직점근선이다.
인 경우
따라서 (-∞,-1)과 (-1,∞)은 감소 구간이다.
x<-1 인 경우 이고
x>-1 인 경우 이므로 곡선은 (-∞,-1)에서 아래로 오목이고
(-1,∞)에서 위로 오목이다.
x=-1은 정의역이 아니므로 변곡점이 아니다.
문제 23>
풀이> 따라서 y=0이 수평점근선이다.
일 때 이고
인 경우는 이므로 y는 (-1,1)에서 증가하고
(-∞,-1)과 (1,∞)은 에서는 감소한다.
따라서 y는 과 에서 위로 오목이고
에서 아래로 오목이다.
문제 3-4-24~25> 일 때와 일 때의 극한을 구하여라. x절편, y절편과 위의 정보를 이용하여 예제11에서와 같이 그래프의 개형을 그려라.
문제 24>
풀이>y절편은 f(0)=0 이고 x절편은 y=0일 때 나타난다. 즉, x=0, 1, 2 이다.
은 항상 양수이므로 그래프는 0에서 x축과 교차하지 않는다. 그러나 1과 2에서는 교차한다.
(x가 큰 양수이면 처음 두 인자는 큰 양수이고, 세번째 인자는 큰 음수이므로)
(일 때 첫 번째와 세 번째 인자가 큰 양수이고 두 번째 인자가 큰 음수이므로)
문제 25>
풀이>y절편은 이다.
x절편은 y=0 이다.
이 항상 양이므로 이 그래프는 3에서 x축과 교차하지 않지만 4에서는 x축과 교차한다.
(양쪽 인자가 모두 큰 양수이므로)
(첫번째 인자는 큰 음수이고, 두 번째 인자는 큰 양수이므로)
문제 3-4-26~27> 다음 조건들을 만족하는 함수의 그래프를 그려라.
문제 26>
0< x < 2일 때
1 < x < 4 일 때
모든 x에 대하여 f(-x)=f(x)
풀이>먼저 그래프 상에 알고 있는 점(2, -1)과 (0, 0)을 그린다.
이므로 x=2에서 기울기가 0인 짧은 선을 그릴 수 있다.
(0, 2)구간에서 (즉, 함수가 감소)이고
(0, 1)구간에서 이고 (1, 2)구간에서 이다
따라서 점(0, 0)과 (2, -1)을 연결할 때 (0, 1)구간에서는 아래로 오목이고
(1,2) 구간에서는 위로 오목하게 그려야 한다.
또한 (2, 4)구간에서는 위로 오목으로 증가하고,
(4, ∞)구간에서는 아래로 오목으로 증가하면서 y=1로 접근한다.
이제 f가 우함수 이므로 y축을 기준으로 대칭으로 그리면 된다.
문제 27>
x >2 일 때
x < 0이고 0 < x < 2 일 때
풀이>이므로 점(1,0)에서 짧은 수평선을 그릴수 있다.
이므로 x=0과 x=2를 수직 점근선으로 갖는다. 따라서 이 점근선에 접근하는 곡선을 그릴 수 있다.
(-∞, 0) 구간에서 그래프는 아래로 오목이고 일 때 이다.
점근선 사이에서 그래프는 아래로 오목이다.
(2, ∞)구간에서 위로 오목이고 일 때 이다. 따라서 y=0이 수평 점근선이다.
.
문제 3-4-28> a) 압축정리를 사용하여 를 계산하여라.
b) 의 그래프를 그려라. 이 그래프는 점근선과 몇 번 만나는가?
풀이>a) 모든 x에 대해서 이고, x > 0에 대해서 이다.
일 때 이므로 압축정리에 의해서 이다.
따라서 이다.
b) (a)로부터 수평 점근선은 y=0이다
는 일 때마다 수평 점근선을 교차한다.
(즉, n=정수, 일 때)
따라서 그래프는 점근선을 무한 번 교차하게 된다.
문제 3-4-29> P와 Q를 다항식이라 하자.
a) P의 차수가 Q의 차수보다 작을 때
b) P의 차수가 Q의 차수보다 클 때
를 구하여라.
풀이>Q(x)의 x의 최고 차수로 분자와 분모를 나눈다.
a) 만약 P의 차수 < Q의 차수 이면 분자→0 이지만 분모는 아니다.
따라서
b) 만약 P의 차수 > Q의 차수 이면 분자→±∞ 이지만 분모는 아니다.
따라서
문제 3-4-30> 모든 x > 5에 대하여
일 때 의 값을 구하여라.
풀이>
따라서 압축정리에 의해서
문제 3-4-31> 그래프를 이용하여 x>N일 때 마다
를 만족하는 N을 구하여라.
풀이>
따라서 부등식의 세 부분을 그리면 곡선 는 x>12.8 일 때 y=2.8과 y=3.2 사이에 있다는 것을 알 수 있다.
그러므로 N=13을 택하면 부등식은 xN일 때 만족한다.
문제 3-4-32> 다음 극한
에 대해 에 대응하는 수 N을 구하여 정의6 을 설명하여라.
풀이> 일 때 다음을 만족하는 N을 찾아야 한다.
(모든 에 대해서)
위 부등식의 세부분을 그리면 일 때 만족함을 알 수 있다.
따라서 N =-6(또는 더 작은 수)으로 택하면 된다.
일 때는 (모든 에 대해서)
그래프에 의해서 일 때 부등식이 만족함을 알 수 있다.
따라서 N =-22(또는 더 작은 수)로 택하면 된다.
문제 3-4-33> a) 을 만족하려면 x는 얼마나 커야 하나?
b) 정리4에서 r=2로 놓으면 을 얻는다.
정리5 를 사용하여 직접 증명하여라.
풀이>a)
b) 인 이 주어지면
으로 하면
따라서
문제 3-4-34> 정의6 을 사용하여 을 증명하여라.
풀이>x<0 에 대해서
만약 이 주어지면
을 택하면
따라서
문제 3-4-35> 극한이 존재하면
이고
임을 증명하여라.
풀이>이라고 가정하자. 그러면 모든 에 대해서 x>N일 때마다
을 만족하는 양수 N이 존재한다.
만약 라면
따라서 모든 에 대해서 에서 을 만족하는 대응하는 (즉 1/N) 이 존재한다.
이는 임을 증명한다.
이제 이라고 가정하자. 그러면 모든 에 대해서 x 을 만족하는 음수 N이 존재한다.
만약 라면
따라서 모든 에 대해서 에서 을 만족하는 대응하는 (즉 -1/N) 이 존재한다.
이는 임을 증명한다.

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미분,   적분,   미적분학