미적분학 1-5

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미적분학 1-5에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

존재한다.
문제 24> , (0,1)
풀이> 는 [0,1] 구간에서 연속이고 f(0) = 1,
-0.46 < 0 < 1 이므로 중간값 정리에 의해서 f(c) = 0인 c 가 (0,1) 영역에 존재한다. 그러므로 방정식 의 근이 (0,1) 사이에 존재한다.
문제 1-5-25> a) 방정식이 적어도 하나의 실근을 가짐을 증명하여라.
b) 계산기를 이용하여 그 근을 포함하는 길이 0.01의 구간을 구하여라
풀이>a) 은 [0,2]에서 연속이고 f(0) = -2, 이다.
-2 < 0 < 0.91 이므로 중간값 정리에 의해서 f(c) = 0 인 c가 (0,2) 사이에 존재한다. 그러므로 방정식 의 근이 (0,2) 사이에 존재한다.
b) , 이므로 근은 1.10과 1.11 사이에 존재한다.
문제 1-5-26> a) 방정식이 적어도 하나의 실근을 가짐을 증명하여라.
b) 그래프를 그리는 프로그램을 이용하여 소수점 아래 셋째 자리까지 정확한 근을 구하여라.
풀이> a) 이라고 하면
f(1) -4 < 0 이고 f(2) = 24 > 0 이다.
그러므로 중간값 정리에 의해서 f(c) = 0인 c 가 (1,2) 사이에 존재한다.
b)
문제 1-5-27> f가 a에서 연속이 되기 위한 필요충분조건은
임을 증명하여라.
풀이>f가 a에서 연속이면 정리8 의 g(h) = a + h 라고 하면
이다.
왜냐하면
즉 |f(a + h) - f(a)| < ε이다.
0 < |x - a| < δ이면 |f(x) -f(a)| = |f(a +(x - a)) -f(a)| < ε
그러므로 이고 f는 a에서 연속이다.
문제 1-5-28> cosin은 연속함수임을 증명하여라.
풀이>
= (cosa)(1) -(sina)(0) = cosa
문제 1-5-29> 어떤 값 x에 대하여 함수
가 연속인가?
풀이>f(x)는 어디에서도 연속이 아니다.
주어진 임의의 수 a와 임의의 δ> 0 을 생각하자. (a-δ, a+δ) 구간은 무한히 많은 유리수와 무리수를 가지고 있다.
f(a) = 0 또는 1 이므로 0 < |x - a| < δ 구간에서 |f(x) - f(a)| = 1인 무한히 많은 x가 있다. 따라서
(사실 는 존재 하지도 않는다.)
문제 1-5-30> 자기 자신의 세제곱보다 정확하게 1 더 큰 수가 존재하는가?
풀이>위와 같은 수가 존재하려면 방정식 을 만족하여야 한다. 이 방정식의 왼쪽 변을 f(x)라고 하자.
f(-2) = -5 < 0 이고 f(-1) = 1 > 0 이다.
f(x)는 다항식이므로 연속이다.
따라서 중간값 정리에 의해서 f(c) = 0인 c가 -2와 -1 사이에 존재한다.
문제 1-5-31> 티벳의 수도승은 오전 7시 수도원을 떠나서 평상시 길로 산 정상까지 오후 7시에 도착한다. 다음날 아침 그는 오전 7시에 정상에서 출발하여 똑같은 길로 오후 7시 수도원에 도착한다. 중간값 정리를 이용하여 수도승이 이틀 동안 정확하게 똑같은 시간에 지나갈 수 있는 길의 점이 존재함을 보여라.
풀이> 첫째날에 수도원으로부터 수도승이 있는 거리를 시간의 함수 u(t)로 정의하자.
둘째날에 수도원으로부터 수도승이 있는 거리는 함수 d(t)로 정의하자.
D를 수도원에서 산 정상까지의 거리라고 정의하자
주어진 정보로부터 u(o) = 0, u(12) = D, d(0) = D, d(12) = 0이란 것을 알 수 있다. 이제 u - d 함수를 고려하면 이는 확실히 연속이다.
계산에 의해 (u - d)(0) = -D 이고 (u - d)(12) = D 이다.
그러므로 중간값 정리에 의해서 인 가 0과 12 사이에 존재한다.
그러므로 각각의 날에 대해서 오전 7시 이후의 시간에 수도승은 같은 위치에 있게 된다.

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미적분학,   미분적분학,   솔루션