수치 17 18 19

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2,1)의 9개 점을 사용하면 된다.
m-file, code와 결과는 다음과 같다.
A는 9개의 격자점에서의 함수값을 가지는 행렬이고, B에서는 x축 방향으로의 적분, C에서는 y축 방향으로의 적분이다. 이 때 cumtrapz는 각 data끼리의 거리가 1인 것으로 가정하고 적분을 하는데 우리의 data 또한 1 간격이므로 더 보정할 필요가 없다. 즉 B에서 가장 오른쪽 끝에 x축 방향으로의 적분결과가 있게 되고 그 결과들의 합이 우리가 원하는 최종 적분결과이다.
따라서 합성 사다리꼴 공식(n=2)로 계산한 적분결과는 2이다.
상대오차는 이다.
c)단일구간 심슨 1/3
심슨 1/3 공식 또한 똑같이 3개의 점을 필요로 한다. 즉 위에서와 똑같은 9개의 점을 사용하자. 함수 또한 위에서 정의한 m-file을 그대로 사용하면 된다. code는 다음과 같다.
A는 심슨 공식에서 사용하도록 함수값에 보정을 한 결과이고, B는 x축 방향의 적분결과이다. 각 격자점 사이의 거리가 1이기 때문에 h=1이다. 마지막으로 c는 y축 방향의 적분 결과이다. 결과는 2.6667이고, 상대오차는 다음과 같다.
(실질적으로 이는 반올림오차이고, 심슨 공식은 참값을 얻었다. 이유는 x에 대해서나, y에 대해서나 3차항 이하이므로 4계 도함수의 값이 0이어서 오차한계가 0이기 때문이다.)
17.8
t 1 2 3.25 4.5 6 7 8 8.5 9.3 10
v 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5
a)사다리꼴
사다리꼴 공식을 써서 적분하면 다음과 같다.
즉 사다리꼴 공식을 썼을 때 1초부터 10초까지의 9초 동안 이동거리는 60.425이다.
b)3차 회귀분석 후 적분
3차 회귀분석 결과는 다음과 같다.
따라서 3차 회귀분석 곡선은 이다.
이동거리는 t=1부터 t=10까지 적분하면 되고, 다음과 같다.
18.2
a)해석적
b)Romberg(es = 0.5%)
Romberg 적분은 사다리꼴 공식을 반복하는 식이다. 결과는 다음과 같다.
즉 에서 종료되고, 결과는 34.8781이 나온다.(실제 결과에서는 각 단계별로 출력을 반복해서 마지막 결과, 즉 원하는 부분만을 잘랐습니다.)
c)3점 가우스 구적법
적분을 -1부터 1까지의 적분으로 바꿔서 한다. 일단 변수변환을 하면 다음과 같다.
3점 가우스 구적법의 경우에 다음과 같이 한다. 결과는 다음과 같다.
즉 3점 가우스 구적법을 쓴 결과는 32.0157이다.
d)quad
quad 명령어를 쓰면 다음과 같다.
즉 결과는 34.8781이다. 이는 해석적인 결과와 반올림을 제외하면 동일하다.
18.9
a)해석적
해석적 적분결과는 다음과 같다.
b)dblquad
명령어를 사용하면 다음과 같다.
즉 21.3333을 얻고, 이는 반올림오차를 제외하면 같은 값이다.
19.1
전진차분, 후진차분, 중앙차분 각각의 공식은 다음과 같다.()
전진차분
후진차분
중앙차분
의 에서의 도함수를 전진차분과 후진차분으로 로, 중심차분으로 가 되도록 구하는 것이다.()
MATLAB으로 계산한 결과는 다음과 같다.
이 경우에 참값은 이다.
value는 왼쪽부터 전진차분 1차, 전진차분 2차, 후진차분 1차, 후진차분 2차, 중심차분 2차, 중심차분 4차로 계산한 값이고 error 또한 왼쪽부터 전진차분 1차, 전진차분 2차, 후진차분 1차, 후진차분 2차, 중심차분 2차, 중심차분 4차의 경우의 오차를 퍼센트 단위로 나타낸 것이다.
19.4
Richardson extrapolation을 MATLAB으로 하면 다음과 같다.
D1은 , D2는 으로 계산한 결과이고 D가 extrapolation 결과이다.
19.11
수치미분을 위해서 gradient 명령을 쓰면 다음과 같다.

키워드

수치해석 연습문제 ,   사다리꼴,   백분율,   함수값