중학교 수학(3-2)

목차

2. 피타고라스의 정리

☆ 피타고라스의 정리

☆ 피타고라스의 정리의 증명

☆ 삼각형의 각의 크기에 대한 변의 길이

3. 피타고라스 정리의 활용

☆ 사각형의 대각선의 길이

☆ 정삼각형의 높이, 변의 길이, 넓이

☆ 한 변의 길이가 인 정삼각형의 높이를 , 넓이를 라고 하면

☆ 다각형의 한 변의 길이 또는 넓이

☆ 특수한 삼각형의 세 변의 길이

☆ 길이가 무리수인 선분의 작도와 그 길이 구하기

☆ 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

☆ 직육면체의 대각선의 길이 또는 부피

☆ 원뿔의 높이, 모선의 길이

☆ 입체도형에서 최단거리

4. 원과 직선

☆ 중심각과 호, 현

☆ 현의 수직이등분선

☆ 현의 길이

☆ 원과 직선 사이의 위치 관계

☆ 원의 접선과 반지름의 관계

☆ 외접사각형

☆ 접선의 길이

5. 원주각

☆ 원주각과 중심각의 크기

☆ 원주각의 크기와 호의 길이의 관계

☆ 네 점이 한 원 위에 있을 조건

☆ 원에 내접하는 사각형의 성질

☆ 사각형이 원에 내접할 조건

☆ 접선과 현이 이루는 각의 크기

6. 원과 비례

☆ 한 원에서의 두 현의 비례 관계

7. 삼각비

☆ 삼각비의 뜻과 값

☆ 특수한 삼각비의 값

☆ 선분으로 나타내어지는 임의의 예각의 삼각비

☆ 임의의 예각의 삼각비의 값의 변화

8. 삼각비의 활용

☆ 직각삼각형의 변의 길이

☆ 일반삼각형의 변의 길이

☆ 삼각형의 높이

☆ 예각삼각형의 넓이

☆ 둔각삼각형의 넓이

☆ 평행사변형의 넓이

☆ 일반사각형의 넓이

본문내용

) (3) 의 경우 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 따라서 이므로
한 원에서의 두 현의 비례 관계 [두 현의 교점이 원의 외부에 있을 때]
다음 그림과 같이 원 의 두 현 의 연장선이 원의 외부의 한 점 에서 만나고 있다. 위의 그림의 에서 와 는 각각 호 에 대한 원주각이므로 ㉮ 또 는 두 삼각형의 공통인 각이므로 ㉯ ㉮, ㉯에서 ∽ ( 닮음) 따라서 이므로 임을 알 수 있다. 이상을 정리하면 다음과 같다.
한 원의 두 현 의 연장선이 만나는 점을 라 하면 가 성립한다.
7. 삼각비
삼각비의 뜻과 값
평면 위에서 한 예각에 대한 직각삼각형은 다음 그림과 같이 무수히 많다. 그런데 이들은 를 공통으로 하는 직각삼각형이므로 서로 닮음이다. 그러므로 따라서 인 직각삼각형 에서 의 크기에 따라 변 사이의 비 의 값은 항상 일정하다.
위의 일정한 가지의 비의 값을 의 삼각비라고 한다.
에 대하여 를 의 사인이라 하고, 이것을 기호로 로 나타낸다. 를 의 코사인이라 하고, 이것을 기호로 로 나타낸다. 를 의 탄젠트라 하고, 이것을 기호로 로 나타낸다.
인 직각삼각형 에서
이상을 정리하면 다음과 같다.
특수한 삼각비의 값
의 삼각비의 값을 알아보자. 먼저 의 삼각비를 알아보자. 한 변의 길이가 인 정사각형에서 대각선을 그으면 한 내각의 크기가 인 직각이등변삼각형을 얻는다. 피타고라스의 정리에 의하여 이로부터 에서 다음과 같이 의 삼각비를 구할 수 있다. 이제 의 삼각비를 구해 보자.
다음 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 에서 이므로 피타고라스의 정리에 의하여 이다. 이로부터 에서 다음과 같이 와 의 삼각비를 구할 수 있다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
30°
45°
60°
1
선분으로 나타내어지는 임의의 예각의 삼각비
다음 그림과 같이 좌표평면 위에 원점 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 사분원을 그리면 임의의 예각 에 대한 삼각비의 값을 아래와 같이 구할 수 있다. 에서 (점 의 좌표) (점 의 좌표) 에서 (점 의 좌표)
임의의 예각의 삼각비의 값의 변화
다음 그림에서 의 크기가 에 가까워지면 와 의 길이는 각각 에 가까워진다. 따라서 는 는 그리고 는 에 가까워짐을 알 수 있다. 여기에서 의 삼각비의 값을 다음과 같이 정한다. 또, 위의 그림에서 의 크기가 에 가까워지면 와 의 길이는 각각 에 가까워진다. 따라서 는 는 에 가까워짐을 알 수 있다. 여기에서 의 삼각비의 값을 다음과 같이 정한다. 그런데 의 크기가 에 가까워지면 의 길이는 한 없이 크게 되므로 의 값은 무한히 커지게 된다. 따라서 의 값은 정할 수 없다.
이고 가 에서 로 변하면 의 값은 점점 커지며, 에서 의 값으로 변한다. 이고 가 에서 로 변하면 의 값은 점점 작아지며, 에서 의 값으로 변한다. 의 값은 정할 수 없으며, 가 에서 로 변하면 의 값은 점점 커지며, 에서 무한히 커진다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
8. 삼각비의 활용
직각삼각형의 변의 길이
다음 그림과 같은 직각삼각형 에서 임을 이용하여 변 와 의 길이를 구해 보자. 위의 그림에서 이므로 ≒ ≒
이와 같이 직각삼각형에서 한 변의 길이와 한 예각의 크기를 알면 삼각비를 이용하여 나머지 두 변의 길이를 구할 수 있다.
일반삼각형의 변의 길이 1 [두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때]
다음 그림의 삼각형 에서 의 길이를 구해 보자. 에서 이므로 에서 이므로 피타고라스의 정리에 의하여
이와 같이 삼각비와 피타고라스의 정리를 이용하면 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때, 다른 한 변의 길이를 구할 수 있다.
일반삼각형의 변의 길이 2 [한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때]
다음 그림의 삼각형 에서 의 길이를 구해 보자. 에서 이므로 ≒ 에서 이므로 에서 ≒
이와 같이 삼각비를 이용하면 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때 다른 두 변의 길이를 구할 수 있다.
삼각형의 높이
삼각비를 이용하여 삼각형의 높이를 구할 수 있다. 직각삼각형에서 그 높이는 삼각형의 한 변이 되므로 앞에서 이미 충분히 연습을 했다. 따라서 여기서는 예각삼각형과 둔각삼각형의 경우에 그 높이를 구해 보자.
(1)예각삼각형의 경우 다음 그림과 같이 에서 한 변 의 길이와 그 양 끝각 의 크기가 주어졌을 때, 그 높이를 구해 보자. 에서 이므로 이 때 이므로 에서 이므로 마찬가지로 이므로 한편, 이므로
둔각삼각형의 경우 다음 그림과 같이 에서 한 변 의 길이와 그 양 끝각 와 의 크기가 주어졌을 때, 그 높이를 구해 보자. 에서 이므로 에서 이므로 한편, 이므로 이와 같이 삼각비를 이용하면 삼각형의 모양에 관계 없이 그 높이를 구할 수 있다.
예각삼각형의 넓이
다음 그림과 같이 에서 두 변의 길이 와 그 끼인각 의 크기가 주어졌을 때 삼각형의 넓이를 구해 보자. 에서 높이 는 이므로 의 넓이는 (밑변의 길이) (높이) 이와 같이 삼각비를 이용하면 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어진 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.
둔각삼각형의 넓이
다음 그림과 같이 두 변의 길이 와 그 끼인각 의 크기가 주어진 둔각삼각형 의 넓이를 구해 보자. 우선 삼각형의 높이 를 구하면 따라서 의 넓이는 (밑변의 길이) (높이)
이와 같이 삼각비를 이용하면 둔각삼각형의 경우에도 그 넓이를 구할 수 있다.
평행사변형의 넓이
다음 그림과 같이 두 변의 길이 와 그 끼인각 의 크기가 주어진 평행사변형 의 넓이를 구해 보자.
평행사변형 는 대각선 에 의하여 와 로
나뉘고 이므로 □
이와 같이 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어지면 평행사변형의 넓이를 구할 수 있다.
일반사각형의 넓이
다음 그림과 같이 두 대각선의 길이 와 두 대각선이 이루는 예각의 크기 가 주어진 사각형 의 넓이를 구해 보자. 위의 사각형 에서 다음 그림과 같이 네 점 를 지나면서 두 대각선 에 평행한 선을 그어 그 교점을 각각 라 하자. 이 때 □ 는 평행사변형이 되고 이므로 □ □
그런데 이므로 □ 이와 같이 삼각비를 이용하면 두 대각선의 길이와 두 대각선이 이루는 각의 크기가 주어진 사각형의 넓이를 구할 수 있다.

키워드

중학교 수학 과외 자료,   중3,   피타고라스의 정리