오일러의 정리

소개글

오일러의 정리에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

한다.
또 다면체에서 그 꼭지점의 개수를 V, 그 변의 개수를 E, 그 면의 개수를 F라 하면 V－E＋F＝2 인 관계가 성립함을 증명하였다. 이것이 오일러의 다면체의 정리이다. 이상의 두 정리는 현재의 위상수학(位相數學) 발전의 발단이 된 것으로서 그 역사적인 의의는 크다.
오일러의 정리란 자연수, 정수 단 인 에 대해
이 성립한다는 것이다.
여기서 란 의 기약 잉여계의 개수로
기약잉여계란 의 완전잉여계 중 과 서로소인 것들을 모은 집합이다.
이제 오일러의 정리를 증명하자.
이고 를 의 소인수분해라고 하면,
(물론, 들은 모두 다른 소수들이고 들은 자연수들이다.)
[증명] 이 정리의 증명을 위해서 Euler의 가 곱산술함수 임을 증명하자.
즉, 에 대하여, 임을 보이자.
우선 행에서 와 서로소인 정수는 개 있다.
그리고이므로 열에 있는 모든 정수는 와 서로소이다.
와 서로소인 어떤 열에 있는 개의 정수를 생각하여 보자.
그러면 이때의 정수 이 완전 잉여계임을 보이자.
[증명]서로 다른 에 대하여 라고 가정하자.
이다.
그런데 이므로 즉,이다.
그러나 는 이하이며 서로 다르므로 모순.
꼴은 법로 모두 다르다. (단 )
즉, 각 열에 있는 개의 정수는 법에 대하여 완전잉여계이다.
그러므로 와 서로소인 어떤 열에서 와 서로소인 것은 개다.
그러면 임을 보이면 된다.(는 여기서 소수)
개의 자연수 중에서 p의 배수인 의 개수을 뺀 것이
바로 이므로, .
따라서 Eulerd의 -함수가 곱산술 함수이며 이므로
이다.
이제 그러면 본 정리를 증명해 보자.
으로 놓고 을 에 대한 기약잉여계라고 하자.
을 관찰해 보자. 그런데 집합과 집합은 합동이다.
(이것의 증명은 페르마의 소 정리와 같은 방법으로 가능하다.)
이면 이다.
그런데 은 법의 기약 잉여계이므로 즉, 이다.
이것으로 오일러의 정리는 증명되었다.
※ 여기서 이 소수이면 따라서 이다. 즉, 페르마의 소 정리이다.
4. 정리의 이용
이로써 우리는 정수론 중 가장 기본이 되는 잉여계와
그에 따른 페르마의 소정리와 오일러의 정리를 증명해 보았다.
그러면 이러한 정리를 이용하여 보자.
예1) 임을 보여라.
페르마의 소 정리에 의하여 이다.
따라서 이다.
예2) 의 끝 두 자리 수를 구하여라.
에 대한 잉여계에서 계산하면 끝 두 자리 수를 알 수 있다.
과 은 서로 소이고, 이므로 이다.
따라서 오일러의 정리에 의하여 을 얻는다.
이므로, 의 끝 두 자리 수는 이다.

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