통계학개론강의록

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신뢰구간:
(6) 소표본에서 가설검정 (two-sample t-test)
① 가정: 두 모집단이 각각 정규분포에 따른다. 두 모분산이 같다.
② 귀무가설이 맞다는 가정에서 검정통계량의 분포:
9.3 대응비교(paired comparison)
(1) 실험 환경: Block 내에서 실험단위는 동질적이고, Block 간에는 이질적인 경우에서 실험단위에 포함된 특성은 제거하고 순수한 처리 효과를 비교할 때 사용한다.
[예] 교육방법에 따른 성취도 향상 비교, 두 종류의 운동화 내구성 실험, 제충제 효과
(2) 자료 형태와 표본평균, 표본분산
① 대응표본:
※ 와 는 강한 양의 상관을 갖는다.
② ,
③ ,
(3) 대표본 경우
① 중심극한정리: 이 충분히 크면 은 근사적으로 N(0, 1)이다.
② 의 100(1－)% 신뢰구간:
③ 귀무가설 에 대한 검정 통계량의 분포:
(4) 소표본인 경우
① 가정: 가 에서의 확률표본이라고 가정
② 의 100(1－)% 신뢰구간:
③ 귀무가설 에 대한 검정 통계량의 분포:
9.4 두 모비율의 비교
(1) 에 대한 추정량: 여기서 ,
(2) 모비율의 검정은 일반적으로 대표본 경우에 해당하므로 중심극한정리를 사용할 수 있다.
① 에 대한 100(1－)% 신뢰구간 :
② 합동추정량: ＝
③ 합동추정량을 고려한 의 검정통계량:
유의수준 에서의 기각역은 대립가설 형태 , , 에 따라 , ,
제 10 장 회귀분석
10.1 회귀분석이란 무엇인가?
(1) 회귀분석(regression analysis): 관심있는 집단에서 어떤 현상이 변수들의 因果관계에 의하여 나타날 때, 그 인과관계를 수학적으로 설명하기 위하여 사용되는 통계적 방법이다.
※ (모형에 확률변수를 포함하지 않는) 결정적 모형과 (모형에 확률변수를 포함하는) 통계적 모형
※ 표본자료를 사용하여 모집단의 관계식을 추정
(2) Francis Galton(1885)이 아버지와 아들의 키에 대한 관련성을 연구하면서 키가 매우 큰(작은) 아버지의 아들은 평균보다는 큰(작은)값을 가지지만 아버지의 키보다는 작은(큰)경향이 있다고 결론 내렸으며 regression이란 용어를 처음 사용.
※ Francis Galton Born: 1822/2/16 in Sparkbrook, England, Died: 1911/1/17 in Grayshott House, Haslemere, England
He proved that a normal mixture of normal distributions is itself normal.
(3) 회귀모형의 형태: 반응변수(종속변수, 출력변수, 결과)와 설명변수(독립변수, 입력변수, 원인)사이의 관계식
= signal + noise
(4) 회귀분석 단계
① 반응변수와 잠재적 설명변수의 설정
② 기초통계치 생성 및 산점도 작성 자료변환 필요성 조사
③ 모형식의 형태 선정
④ 유의한 변수선택(추정, 통계적 검정, 잔차분석)
⑤ 추정식의 활용
10.2 직선 회귀모형
(1) 모형식:
(2) 자료:
(3) 자료를 대입한 형태:
(4) 기본 가정
① 와은 미지의 상수이다. 추정의 대상이 되는 모수가 된다.
② 은 오차(error)로, 평균이 0이고, 표준편차가 인 정규분포를 따르는 확률변수이다. 도 모수가 된다.
③ 들은 서로 독립이다.
10.3 최소제곱법
(1) 와에 대한 추정문제: 오차를 최소로 하도록 한다.
※ 문제점: 오차들이 +와 -값을 가질 수 있으므로 서로 상쇄되는 문제가 있다.
(2) 최소제곱원리(principle of least squares): 오차의 제곱합을 최소로 하는 와을 찾는다.
즉, 을 최소로 하는 와을 찾는다.
※ 최소제곱원리에 의하여 구한 추정량을 최소제곱추정량(least square estimators: LSE)이라고 부른다.
(3) 기호들: , , , ,
(4) 최소제곱추정량:
① 의 최소제곱추정량 :
② 의 최소제곱추정량 :
(5) 추정된 회귀모형식:
(6) 잔차(residual):
(7) 잔차제곱합(residual sum of squares, SSE):
(8) 오차분산 의 추정량:
10.4 최소제곱추정량의 표본분포
(1) 추정된 계수들은 얼마나 믿을 수 있는가? 표본자료가 변경되면 계수가 얼마나 달라지는가?
추정량의 분포를 고려
(2) 추정량의 분포:
① ②
10.5 최소제곱추정량에 대한 추정과 검정
(1) 구간추정
※ 표본크기가 작고 대신 MSE 를 사용하면 정규분포대신 자유도가 n-2인 t 분포 사용
① 에 대한 신뢰구간 :
② 에 대한 신뢰구간 :
③ 새로운 에 대한 평균반응값에 대한 신뢰구간 :
④ 새로운 에 대한 반응값에 대한 신뢰구간 :
(2) 가설검정
①
②
③
10.6 직선모형의 적합도
(1) 변동의 분해
① = 추정된 모형식으로 설명되는 부분 + 잔차
② (총제곱합 = 회귀제곱합 + 잔차제곱합),
③ 결정계수(R-square): (추정된 회귀모형으로 설명되는 y 변동의 비율),
(2) 분산분석표(Analysis of Variance table, ANOVA table)
① 에 대한 검정을 표로 표현한 것
② ANOVA 표의 형태
Source of
variation
DF
Sum of Square
Mean square
F value
Pr > F
Model
1
SSR
MSR
p-value
Error
n-2
SSE
MSE
Corrected Total
n-1
SST
10.7 비선형관계와 선형변환
(1) 선형변환: 자료변환을 통하여 직선회귀모형을 적합 산점도 활용
비선형 모형
변환
변환된 모형
(1)
(2)
(3)
(4)
10.8 다중선형회귀(multiple linear regression)
(1) 모형식:
(2) 기본 가정: 오차항의 등분산성, 독립성, 정규성
(3) ANOVA 표의 형태
Source of
variation
DF
Sum of Square
Mean square
F value
Pr > F
Model
p
SSR
MSR
p-value
Error
n-p-1
SSE
MSE
Corrected Total
n-1
SST

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