물리학 - 국제단위계 SI에대해

소개글

물리학 - 국제단위계 SI에대해에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

...xN이라 하여 모두 N개의 자료를 얻었으면 평균값은 다음과 같이 계산한다.
평균값 =xi
경우에 따라서는 구간을 설정하여 측정하기 때문에 x1,x2,x3,......xN에 대한 빈도가 각각 f1,f2,f3,......fN인 형태로 자료를 얻을 수 있다. 이 때문에 빈도를 가중치로 택하여 아래와 같이 평균값을 계산한다.
평균값 =
측정자료들이 분포된 정도를 나타내기 위하여 편차를 di=xi-를 사용하는 것이 편리하다. 이들을 평균하면 0이 되므로 그 절대값의 평균을 평균편차라 한다. 그러나 통계적으로는 다음과 같이 정의된 표준편차 σ가 더 중요한 의미를 갖는다.
σ2=-)2
σ2 자체는 분산(variance) 이라고 불리운다.
한 물리량은 1회에 N번씩 여러 차례 되풀이하여 측정하면 매회 얻어지는 측정값에 대한 평균값과 표준편차는 일반적으로 달라진다. 평균값 의 표준오차를 σm이라 하면 σ, σm, N 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
σm=
측정자료들로부터 보고할 측정값은 다음과 같다.
x=±σm
오차를 표기하는 방법은 흔히 절대오차, 상대오차 및 퍼센트 오차의 세 가지가 있다.
절대오차 σ
상대오차
퍼센트오차 100
상대오차는 측정값의 정밀도를 나타내므로 편리하고, 퍼센트오차는 이와 관련하여 많이 사용된다.
3. 오차의 전파
직육면체를 가로, 세로 및 높이를 각각 열 번씩 측정하여 그 부피를 구하는 실험을 생각해보자. 이들 데이터를 이용하면, 1,000 개의 부피에 관한 데이터를 얻을 수 있고 이로부터 평균값과 표준편차를 구할 수 있다. 그러나 보다 합리적인 방법은 가로, 세로, 높이에 대한 각각의 평균값들을 먼저 구하고 이 평균값들을 곱하여 부피를 측정하는 것이다.
이 경우에 문제점은 부피의 오차를 측정하는 것이다. 한 가지 분명한 점은 각 변의 길이의 오차 때문에 부피의 오차가 생긴다는 것이다. 따라서, 실제 측정상의 개별적 오차가 계산하고자 하는 물리량에 어느 정도 전파되는가를 알 필요가 있다.
구체적으로 어떤 물리량 z가 다른 물리량 x, y, …의 z=f(x, y, …)의 관계로 주어졌다고 하자. 그리고 x, y, …의 측정값으로부터 , …의 평균값과 , …의 표준편차들을 얻었다고 하자. 그러면 z의 평균값은 …)로 주어지며 z의 표준편차는 다음과 같다.
…
여기서 , , …는 평균값 , …에서 계산한 편도함수들을 의미한다. 위의 식을 오차전파의 공식이라고 한다.
실제로 다음과 같은 경우들은 간단한 실험에서 자주 나타나므로 익숙해 두는 것이 편리하다 (보기에서 a, b는 주어진 상수이다.)
(1) z=axby
(2) z=axy
(3) z=a
(4) z=axb
(5) z=aebx
(6) z=alogbx
위의 공식들을 보면 덧셈과 뺄셈에서는 절대오차가 같은 정도의 크기가 되도록 하는 것이 좋다. 또한 곱셈과 나눗셈에서는 상대오차가 같은 정도가 되도록 하는 것이 합리적이다. 유효숫자를 다룰 때 숫자의 가감승제에서 이러한 오차전파의 공식이 반영되어 있음을 알 수 있다. 그리고 공식 (4), (5)에서 보듯이 멱함수의 경우에는 지수가 클수록 전파되는 오차량도 커지는 것을 알 수 있으므로 특히 정밀한 측정이 요구된다.
4. 최소 제곱법
물리학 실험은 두 개의 상호 작용하는 변수사이의 관계를 연구하는 경우가 많다. 예를 들어 자유낙하하는 물체의 속도는 시간에 따라 어떻게 변하는가를 알아보자. 실험을 수행함에 있어서, 독립변수인 시간을 점진적으로 변화시켜가며 이에 따라 종속변수인 속도를 일련의 실험을 통해서 측정한다. 이 때 얻어진 데이터는 수표 또는 그래프 형식으로 표시한다. 수표는 얻어진 그대로의 데이터의 기록이 가능하지만 두 변수 상호간의 관계를 나타내기에는 불충분하다. 반면에 그래프로 표시하면 변수 상호간의 관계를 아주 돋보이게 나타낼 수 있다는 장점이 있다. 또한 그래프는 확률적인 실험오차를 지적하고 여러 번 관측한 양의 중간 값을 제공하기도 한다.
그래프는 눈금 종이에 작성하며 측정점(data points)이 분산되어 있는 경우, 측정점과 측정점을 바로 연결해서는 안 된다. 연속적으로 고르게 변화하는 물리량이 오차 때문에 분산된 것이라면 실험곡선(experimental curve fitting)을 그려 넣어야 한다. 이 때 각 측정점이 곡선의 양쪽에 공평하게 분리되도록 유의하여야 한다.
변수들의 관계를 표현할 수 있는 가장 유력한 형식은 수학적인 방정식이다. 아와 같은 방정식으로부터 다양한 수학적인 전개와 추가적인 정보를 추론할 수 있다.
최소제곱법에 의한 곡선맞춤의 기준은 간단하며 직접적으로 통계적인 개념에 그 기초를 두고 있다. 예를 들어 두 변수 x와 y의 선형관계를 생각하자. x를 독립변수로 y를 종속변수로 정의한다. 이들 상호간의 선형관계는 y=a+bx …(1)로 표시할 수 있다.
측정값()의 집합에서 xi에는 측정 오차가 없었다고 가정하고 yi의 값에는 오차가 포함된다고 하면 yi=a+bxi+Ei로 쓸 수 있으며 Ei는 측정 오차이다. 그러나 오차는 미지의 양이기 때문에 윗식으로부터 a와 b를 구할 수 없다. 선형관계식 (1)이 성립한다고 가정할 때 측정값의 집합은 a와 b에 대한 근사치를 얻는데 사용할 수 있다. 이러한 근사치를 각각 라고 정의한다.
모든 측정치 yi에 대응하여 방정식 (1)에서 주어진 에 해당하는 예측된 값 가 있다. 측정치 yi로부터 예측된 값의 편차는 이며, 이 편차들의 제곱의 합은 아래와 같다.
구하고자 하는 근사치 는 이 제곱들의 합을 최소로 만드는 측정값들의 함수이다. 이러한 최소제곱 근사치는
으로 주어지며 는 각각의 산술평균이다. 따라서 실험곡선식은 다음과 같이 표현할 수 있다. y
통계이론에 의하면 모든 x에 대하여 동일하다고 가정된 주어진 x에 대한 y의 분산은 평균평방편차에 의해서 불편적으로 측정되며 다음과 같다.
근사치 의 추정된 분산 는 분산의 추정치 을 x에 대한 평방의 합으로 나눈 것이다. 즉,
근사치 의 추정된 분산 는 더욱 복잡하며 다음과 같이 주어진다.
위에서 논의된 분산들로부터 근사치 에 대한 표준편차의 계산은 쉽게 할 수 있다.
참고문헌 : 일반물리학실험((주)북스힐)

키워드

국제단위계,   SI의 특징,   SI의 구조