복소수 논문

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가능하지 않다. 더욱이, 여기서 다루어지는 거의 모든 함수는 복소수 값을 가졌다. 계속할 수 있는 한 가지 방법은 의 그래프를 그리는 것이다. 그러나 더 유용한 방법은 (하나는 정의역의 변수 의 또 하나는 치역의 변수 의)두 개의 복소평면을 이용하는 것이다. 예를 들어, 함수 는 원반 {}을 >0인 의 집합으로 사상함을 보았다. 이것은 그림 1.22처럼 그래프를 그릴 수 있다. 이와 같은 형태의 그림은 복소수 값을 갖는 복소 변수의 함수의 행동을 이해하는데 매우 유용하다.
1.4.2복소수의 수열과 극한
복소수열의 극한의 개념이나 복소함수의 극한, 또는 연속은 실변수 함수의 그것들과 거의 같다.
복소수열은 정의역이 자연수이고 치역이 복소수의 부분집합인 함수이다. 다음과 같은 것이 복소수열의 예이다.
h(n)=
<정의>
{}를 복소수의 수열이라고 하고, 를 복소수라 하자. 주어진 임의의 양수 에 대해, 모든 n에 대해
이 성립하는 이 존재한다면 {}은 극한(limit)으로서 복소수 를 갖는다, 또는 {}은
로 수렴한다고 한다. 이때
또는
라 쓴다.
어떤 이유에서건 수열이 수렴하지 않으면 발산한다고 한다.
이고 라 하면 일 필요충분조건은 이고 인 것이다.
(세 부등식 즉,
, 그리고 )
동시에 다음과 같이 쓸 수도 있다. 복소수의 수열 {}이 복소수로 수렴할 필요충분조건은 가 에 중심을 둔 열린 원반이라 할 때 유한개의 점을 제외한 모든 점 {}은 안에 머무른다.
따라서 위의 논의는 본질적으로 복소수열의 많은 성질이 실수열의 그 대응 성질로부터 추론될 수 있음을 보여준다. 예를 들어, 극한의 유일성이 실수열의 극한의 유일성으로부터 유도될 수 있다.
[예제 1] 수열 는 로 수렴한다.
[예제 2] 수열 은 로 수렴한다.
[예제 3] 수열 는 으로 수렴한다.
[예제 4] 수열 은 발산한다.
[예제 5] 수열 은 각 항이 의 순으로 반복되기 때문에 발산한다.
복소수도 실수에서와 같이 증명된 중요한 정리들이 존재한다.
[정리] 수렴수열은 유계이다.
그 수열들은 부분수열(subsequence)을 갖고 그의 항들은 수열 {}의 항 중에서 순서를 유지하여 뽑은 수열 {}이다.
[정리] 수열 {}이 으로 수렴하면 모든 부분수열 {}도 으로 수렴한다.
[정리] 모든 유계복소수열은 수렴부분수열을 갖는다.
[정리] 점 이 집합 의 극한점이기 위한 필요충분조건은 으로 수렴하는의 서로 다른 점열이 존재하는 것이다.
<정의>
복소수열{}이 코시수열(Cauchy sequence)이라 함은 임의의 에 대해
일 때
인 정수 이 존재할 때이다.
[정리*] 수열{}이 수렴하기 위한 필요충분조건은 {}이 코시수열인 것이다.
위의 정리는,
복소수열의 근원을 알지 못하고서도 수열의 수렴성을 판정하는 일반적인 방법을 제공해 주고 있다. 모든 코시 수열이 수렴하는 체계(=수렴하는 수열의 값이 그 집합 안에 존재한다)를 완비적(Complete)이라고 한다.
복소수는 완비적이다. 그러나 유리수는 완비적이지 못한다. 예를 들어 1.4, 1.41, 1.414 ... 와 같은 유리수열은 점점√2 에 가까이 가지만 수렴값인 √2는 무리수이기 때문에 완비적이라고 할 수 없다.
따라서 복수수열로 정의된 위의 수열{}은 [정리*]를 만족하게 된다.
1.4.3 복소함수의 극한과 연속
를 평면의 부분집합 에서 정의된 함수라 하자. 는 또는 의 경계에 있는 점이라 하자. 만일, 주어진 에 대해
이 되는 을 에서 갖는다고 한다면 는 에서 극한(Limit) 을 갖는다고 하고
, 또는 일때 이라 쓴다.
여기서 안에서 어떤 방법으로든지 가 에 접근할 때 가 로 접근하는 경우에만 는 점 에서 극한 을 갖는다는 것을 강조하고 싶다. 이것은 실함수인 경우에는 실변수가 왼쪽이나 오른쪽으로만 접근하기 때문에 근본적으로 다르게 된다. 복소수는 평면에서 접근하기 때문에 복소수 는 무한히 많은 방향으로부터 에 접근할 수 있다.
를 복소평면의 부분집합 위에서 정의된 함수라 하자.
일때, 임의의 >에 대해
이면
이 되는(과에 종속인) 가 존재하면 는 에서 연속(Continuous)이라 한다.
즉, 이고 가 에 충분히 가까워질 때 의 값이 에 임의로 가까워지면 는 에서 연속이다. 가 의 모든 점에서 연속이라면 는 에서 연속이라고 한다. 가 정의되고 = 이면 는 에서 연속이다.
=가 의 어떤 근방에서 정의되었다고 하자. 가 에서 연속일 필요충분조건은 와 가 에서 연속인 것이다.
1.5 입체사영
에서 절대값이 보다 큰 모든 점의 집합을 의 -근방이라 하고, (,)으로 쓴다. 임의의 실수 에 대해 유한개의 을 제외한 모든 에 대해 이면 수열 {}은 로 접근한다고 한다.
복소수의 집합에 를 결합하면 확장된 복소수계를 얻는다. 이 확장된 복소수계는 두점()이 더해진 확장된 실수계와는 개념상 다르다는 것을 주목해야 한다. 평면의 이 한 점 컴팩트화 {}는 실직선의 한 점 컴팩트화와 같은 유사한 기하학적 모형을 갖는데 평면의 경우에는 단위원이 단위구 로 대치된다.
복소평면의 임의의 실수 에 대해 두 점 과 을 잇는 의 한 직선을 그리자. 이 직선은 과 어떤 다른 점 에서 구 과 만난다. 구 위의 점 로부터 평면 위의 점 과으로의 이 사영을 입체사영(Stereographic projection)이라 한다.
그림1.23
이 일대일 대응이 유한 복소평면의 점들과 을 제외한 구 위의 모든 점을 일대일로 짝을 맺게 한다. 확장된 복소수계에서의 점는 점 과 동일시 되는데, 점 을 흔히 북극(north pole)이라 한다.
이제 점 과 동일시된 구 위의 점 을 구해보자. 우선 세 점
, , 이 일직선 위에 있음을 관찰하라. (3차원 공간에서 3점을 지나는 직선의 방정식은 벡터의 성질을 이용해 쉽게 구할 수 있다.) 따라서 어떤 실수 에 대해
.......(**)
가 성립한다. 그러나
이므로 이를 에 관해 풀면 다음과 같이 된다.
식 (**)에 의해 복소수는 결국 다음의 점과 동일시된다.
=( .......(***)
위 식(***)을 다시 쓰면, 복소수 는 구 위의 점
과 동일시 된다.
또한 위의 사상과 그 역사상은 연속임을 밝히는 것은 쉽다.

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복소수,   논문,   복소