수와 식과 관련된 이야기

목차

음수란 무엇인가?
호르스의 눈

음수를 처음 사용했던 중국
+, ­,×, ÷의 옛 부호

음수의 역사
수의 도형 삼각수와 사각수

소수는 과연 몇개일까?
수의 지혜

왜 0으로 나누면 안될까?
가우스의 속셈비결

본문내용

(5,7), (11,13), (17,19), (29,31), …
이와 같은 짝은 1부터 200사이에 몇 게나 있을까? 실제로 여러분이 직접 해 보자.
답:100에서 200까지의 쌍자소수 (101,103),(107,109),(137,139),(149,151),(179,181),(191,193),(197,199)
를 포함해 10개이다.
소수의 발생은 분포 상태가 불규칙적이라는 것을 다음 표를 보면 곧 알 수 있다.
범 위
0 ∼ 10
0 ∼ 100
0 ∼ 1000
0 ∼ 10000
0 ∼ 100000
0 ∼1000000
소수의 개수
4
25
168
1229
9592
78498
분포율(%)
40
25
16.8
12.3
9.6
7.8
위의 표와 같이 그 범위가 넓어지면 넓어질수록 소수의 분포율이 적어진다는 것이다.
소수에 대한 순수한 연구와 사색은 겉으로 보기엔 무익한 것처럼 보이나 실제로는 신용카드와 원거리 통신, 국가 안보 등에 깊숙이 관련되어 있고, 또 큰 소수를 발견하기 위한 노력이 계속되고 있다. 1996년 미국의 크레이연구소가 발표한 바에 의하면 현재까지 발견된 소수 중 가장 큰 것은 한 번 적는 데만도 신문 12개 면이 필요한 37만 8천 6백 32 자리의 수로 알려져 있다.
왜 0으로 나누면 안되는가?
다음 계산을 해 보자.
(1) 0 ÷ 5 (2) 5 ÷ 0 (3) 0 ÷ 0
이것을 곱셈으로 고쳐서 생각해 보면,
(1) 0 ÷ 5 = □ 에서 □ × 5 = 0
이 곱셈의 결과가 0이 되기 위해서는 □안의 수가 0이 되어야 한다. 따라서, 0 ÷ 5 = 0
(2) 5 ÷ 0 = □ 에서 □ × 0 = 5
0에 어떤 수를 곱하여도 그 곱은 0이 된다. 그런데 이 경우는 0에 □를 곱하여 5가 되었다. 따라서, □안에 알맞은 수는 없다. 즉, 5 ÷ 0의 답은 없으므로 이것은 의미가 없다. 그러므로 어떤 수를 0으로 나누어서는 안된다.
(3) 0 ÷ 0 = □ 에서 □ × 0 = 0
이 경우는 □안에 1, 2, …, 100, …, 1000, …
어떤 수를 넣어도 된다. 즉, 0에 어떤 수를 곱하여도 그 곱은 0이기 때문이다.
따라서 0 ÷ 0 = (답을 정할 수 없다.)
호르스의 눈
이집트에는 매의 머리를 가진 "호루스"라는 신이 있는데 이 호루스의 눈에 관한 다음과 같은 신화가 전해지고 있다.
하늘의 신과 땅의 신 사이에서 태어난 오시리스는 이집트를 문명국으로 발전시켰으나 그의 동생 세트는 형을 시기하여 흉계를 꾸며 형을 죽이고 시체를 토막내어 이집트 각지에 뿌렸다. 그런데 오시리스의 아내 이시스는 남편의 시체를 모아 부활시켜 저승의 왕이 되게 하였다. 한편, 오시리스의 아들 호루스는 세트를 물리치고 왕위에 오르지만 세트가 그의 눈을 뽑아 산산조각 내어버린 것을 지혜의 신 토토가 다시 모아 원래 모습을 되찾게 해 주었다. 이 신화로 이집트인들은 눈 전체를 1로하여 각 부분에 분수를 배치하였는데 부족한 (64분의 1)은 토토의 신이 보충한다고 한다.
+, ­, ×, ÷의 옛 부호
오늘날 우리는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 계산에 각각 +, ­, ×, ÷의 기호를 써서 시간과 노력을 절약하지만, 수학의 역사에서 보면 이 기호는 비교적 새로운 것이다. u
초기 바빌로니아 수학자들도 말 대신에 기호를 사용했다. 오른쪽의 것들은 각 시대에 사용되었던 연산 기호의 한 가지 예이다.
♠덧 셈 르네상스 시대의 산술가 타르탈리아는 덧셈의 기호로, 이탈리아 어 piu(플러스)의 머리글자를 사용했다. 현재의 +기호는 라틴어 et(and)를 간략하게 한 것이다.
◆뺄 셈 그리스의 디오판토스가 즐겨썼다. 현재의 -기호는 중세 상인이 물건의 무게의 차이를 나타내기 위해 사용했던 가로대에서 유래되었다고 생각된다.
♥곱 셈 17세기의 독일 철학자 라이프니츠가 사용한 기호이나, 그 당시 이미 성 안드레의 십자가에서 유래한 현재의 ×기호가 알려져 있었다. 그는 ×기호가 미지수 χ와 혼동되기 쉽다고 생각한 것이다.
♣나눗셈 18세기의 프랑스의 갈리마르가 나눗셈의 기호로 D자를 뒤집은 기호를 사용했다. 현재의 ÷기호는 단순한 분수의 가로선에서 유래하며, 그 아래위의 점은 장식이라 생각된다.
수의 도형-삼각수와 사각수
피타고라스 학파의 사람들은 존재하는 수는 어떤 형태를 가져야만 된다고 생각했기 때문에 항상 수를 도형과 관련시켜서 생각했다. 그들은 점을 나타내는 모나드(monad:單子)를 생각했으며, 이 모나드의 아름다운 배열에 의해서 표시되는 수에 특히 흥미를 가지고 있었다.
그것의 대표적인 것은 모나드를 정삼각형의 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수이다.
그들은 아래의 그림과 같이 모나드를 정삼각형의 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수를 삼각수라 하고, 또 모나드를 정사각형의 모양으로 나타낼 수 있는 수를 사각수라 하였다.
n번째의 삼각수 Tn은 Tn=1+2+3+…+n
이고,n번째의 사각수 Sn은 Sn=n2이다.
수의 지혜
옛날 어느 나라의 왕은 모양과 색깔이 같은 64개의 보석을 가지고 있었다. 왕은 이 보석을 오른쪽 그림과 같이 한가운데를 비워 두고 가로, 세로 어느 줄을 합하여도 모두 24개씩 되도록 넣어 두었다.
왕은 날마다 이 보석을 보면서 즐거워하였다. 그런데 왕에게는 영리한 4명의 왕자가 있었다. 하루는 네 왕자가 상의하여 장난을 하기로 하였다.
그 날 밤 첫째 왕자는 보석이 있는 방에 몰래 들어가 보석 4개를 꺼낸 다음, 아래 그림과 같이 가로, 세로 어느 줄이나 24개씩 되도록 보석을 옮겨 놓았다.
그 다음 날 밤에는 둘째 왕자가 또 보석 4개를 꺼낸 다음, 가로, 세로 어느 줄이나 24개씩 되도록 옮겨 놓고 나왔다.
3일째 밤에는 셋째 왕자가, 4일째 밤에는 넷째 왕자가 똑같은 방법으로 하여 보석 4개씩을 빼내었다.
과연, 왕은 이 사실을 모르고 지나쳤을까?
가우스의 속셈 비결
1에서 100까지의 자연수를 모두 합하면 얼마인가?
S= 1+ 2+ 3+…+ 99+100
+S=100+ 99+ 98+…+ 2+ 1
2S=101+101+101+…+101+101 = 101 × 100 = 10100 ∴ S= 5050

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수,   식,   관련