문자와 변수에 대하여

목차

Ⅰ. 문자
1. 문자의 사용
2. 식의 계산
3. 단항식의 곱셈과 나눗셈
4. 다항식의 계산
5. 다항식의 곱셈
6. 곱셈 공식
7. 인수분해
8. 인수분해 공식

Ⅱ. 변수
변수 개념의 분석
변수 개념의 지도의 실태 분석
변수개념의 학습 - 지도 방향
꼭두각시 변수 지도에 관하여
부정소를 소위 '상수'라고 부르는 것에 대하여

본문내용

어야 한다. 우정호(1998)가 논리적으로 가장 단순한 형태로 교재를 제시하려는 노력이 인지적 장애의 요인이 됨에 유의해야 할 것이라는 지적을 한 바와 같이 함수
y=f(x)
나 방정식에서의 미지수 x 와 같이 변수 기호를 특정한 문자로만 국한하여 지도하면 x가 아닌 다른 문자로 표현된 변수를 생소하게 생각하여 변수를 나타내는 문자의 변화가 내용의 변화를 가져오는 것으로 오해하기 쉽게 되는 것이다.
부정소를 소위 '상수'라고 부르는 것에 대하여
부정소
수학에서 임의의 대상을 대신하여 사용되는 문자를 다가이름(poly valent name)이라고 하는데 그 중에서 특히
{ (a+b)}^{2 } = { a}^{2 } +2ab+{ b}^{2 }
,
a { x}^{ 2} +bx+c=0
,
y`=`a { x}^{ 2} +bx+c
와 같이 일반화된 표현을 형식화하기 위해 사용되는 다가이름을 부정소(indeterminates)라고 부른다. 또한 부정소와는 달리
{ x}^{2 }+x-2=0
에서와 같이 해를 묻기 위해서 사용되는 다가이름은 수학에서는 미지수라고 부르고 있다(Freudenthal, 1984, p.1704).
를 상수로 취급하는 것에 의하여 변수에 의한 일반화의 의미는 쉽게 가려진다. 일차·이차 방정식과 함수에 대한 일반식에서 아직 정해져 있지 않은 값 a, b, c를 단순히 '상수'로 규정하는 것은 중학교 수학 교과서에서 흔히 찾아볼 수 있는 예이다.
중학교 3학년 수학 교과서에서 다루어지고 있는 이차방정식의 일반식
a` x^2 +bx+c=0
, 이차함수의 일반식
y=a` x^2 +bx+c
도 표 6의 내용과 비슷한 예로서 역시 'a 0 이고 a, b, c는 상수'라는 설명이 덧붙여 제시되고 있다. 중학교 시기에서는 위의 예에서 사용된 문자 a, b, c와 같이 일반화된 식의 표현에서 부정소의 의미로 사용된 변수를 자주 다루고 있지만 부정소를 항상 상수로 규정함으로써 학생들이 주어진 식이 함의하는 일반화의 의미를 명확하게 포착하는 것을 어렵게 하고 있다. 현행 중학교 수학 교과서에 나타나는 변수에 관한 내용을 살펴보면 산술에서 대수로의 급격한 전환에 의해 변수의 '대표성'이 부각되는 일반화된 의미의 문자사용이 두드러지게 나타나고 있음을 알 수 있다. 그러나 일반화의 의미에 대한 설명은 거의 주어져 있지 않고 일반화된 표현을 즉각적으로 도입하면서 더구나 일반화된 문자 즉, 방정식이나 함수식 등에서 아직 정해져 있지 않은 수를 일반적으로 나타내는 문자 a, b, c를 단순히 상수라고 부르는 용어상의 문제는 학생들로 하여금 방정식, 함수식, 일반적인 법칙이나 공식을 나타내는 식에서 사용되고 있는 부정소가 오직 하나의 수와 연결되기 때문에 변수가 아니라는 오개념을 갖게 할 수 있다는 점을 배제할 수 없다. 부정소를 상수라고 규정하면 문제 상황의 결과적 측면 즉, 일반식이 특수한 경우에 적용된 상황에 주목하게 하여 학생들로 하여금 일반식 안에서 문자가 담당하고 있는 역할보다도 그 문자가 가지는 값에 주목을 시키게 된다. 이로 인해 학생들은 일반화된 문자를 변수의 범주에 포함시키지 못하게 되고 결국은 변수에 대한 제한된 생각을 갖게 될 수 있는 것이다.
학생들이 부정소의 의미를 이해하지 못한다면 방정식의 일반해의 의미를 명확히 파악할 수 없다. 따라서 위와 같은 일반식에 사용된 문자 a, b, c 에 대하여 '상수'라는 표현을 하는 것은 바람직하지 않고 그것을 아직 정해지지 않은 상수를 일반적으로 나타내고 있는 '부정소'인 변수 또는 '아직 정해져 있지 않은 상수'라고 표현하는 것이 옳을 것으로 생각된다. 위의 예에서와 같이 문자 a, b, c를 계속 상수로 지도하면 학생들은 아직 정해져 있지는 않지만 결국 특수화의 과정에서 어떤 하나의 수로 결정될 문자는 모두 상수로 취급하게 됨으로써 변수와 구분짓는 오류를 범할 것이다. 즉, 패턴을 일반화하는 문자를 변수의 측면으로 바라보지 못하게 되는 것이다.
실제로 학생들에게서는 변수를 상수의 대립개념으로 다루면서 '상수'의 의미를 지나치게 확장하여 적용하는 경우를 흔히 보게 되는데 이는 방정식의 해에 대한 자리지기로서 사용된 미지수를 변수의 범주에 포함시키지 않는 오류에서 확인된다. 방정식에서의 x는 방정식의 해가 되는 것을 찾기 위해서 여러 가지 수를 대입해 볼 수 있다는 사실에 의해 변수 개념으로 파악되어야 하지만 연구 결과에 따르면 방정식에서의 x를 변수로 보지 않는 학생의 수가 상당히 많은 것으로 나타난다. 학생들은 일차 또는 이차방정식에서 x는 단 하나 또는 둘의 값을 갖기 때문에 x가 변하지 않고 고정된다는 생각을 하여 그것을 상수로 보는 것이다
사실상 일차방정식인 부정방정식
ax+b=0~에서~a =0~이고~b =0
의 경우를 생각해 보면 이 일차 방정식은 무수히 많은 해를 가지기 때문에
x`
가 갖는 값이 하나가 아니라 모든 실수가 된다. 이 예는 미지수
x
를 상수라고 설명하는 것이 적절하지 않다는 사실을 잘 보여주는 것이다.
. 이 역시 위에서 언급한 바와 같이 문제 상황의 결과적 측면 즉, 방정식의 풀이 결과에 집착하여 식 안에서 문자가 담당하고 있는 역할보다도 그 문자가 결과적으로 가지는 값에 주목을 하고 있는 것이다
이러한 생각은 이후의 학습에서
n
개의 해를 갖는
n
차 방정식의 경우에서도, 실제 그들은 변수를 여러 가지 값을 갖는 문자라고 생각하고 있으면서도,
x`
를 상수로 취급하게 되는 오류를 범할 것이다. 방정식에서 미지수에 대한 자리지기로서 사용되고 있는 문자 역시 그 문자가 쓰여진 자리에 임의의 수가 대입될 수 있다는 의미, 다시 말하면 방정식의 해를 찾기 위해서 문자
x`
에 여러 가지 값을 넣어볼 수 있다는 의미에서 변수 사용의 한 측면으로서 강조되어야 한다. 방정식에 대한 지도가 명시적으로 제시되기 시작하는 초등 6학년 시기에서부터 문자
x
에 실제로 여러 값을 대입해 보는(방정식이 참 또는 거짓이 되도록 하는) 과정을 충분히 다루어서
x
가 임의의 수를 넣어볼 수 있는 다가이름으로 사용되었음을 경험시키는 것이 중요하다.
.

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