카르노맵

목차

카르노 맵 - 1

카르노 맵 - 2

카르노 맵 - 3

카르노 맵의 이용법

진리표로부터 카르노 맵 구하기

Pairs, Quads, and Octets

카르노 맵을 이용한 부울 대수식의 간략화

정리 : 부울 대수식을 간략화하기 위한 카르노 맵의 이용

본문내용

윗 식은 다시
로 간단히 쓸 수 있다.
Fig. 2-13a처럼 카르노 맵의 수직선상으로 인접하게 한 쌍의 1들이 존재하는 경우
Fig. 2-13b처럼 카르노 맵의 수직선상으로 인접하게 한 쌍의 1들이 존재하는 경우
Fig. 2-13c처럼 카르노 맵의 수평선상으로 인접하게 한 쌍의 1들이 존재하는 경우
Fig. 2-13d처럼 카르노 맵의 수평, 수직선상으로 인접하게 두 쌍의 1들이 존재하는 경우
카르노 맵에서 수직 또는 수평선상으로 한 쌍의 1이 인접해 있는 경우, 부울 대수식을 고려할 때, 변수 자신과 그의 보수가 모두 나타나는 변수를 최종 출력식에서 제거할 수 있다.
Quads
카르노 맵에서 네 개의 1들이 수평 또는 수직선상으로 인접해 있는 경우
- 일직선 형상(Fig. 2-14a)이나, 정사각형 형상(Fig. 2-14b)일 수 있음
- 이 경우 두 개의 변수와 그들의 보수(complement)들은 제거된다.
Fig. 2-14a의 네 개의 1들을 2-14c처럼 두 개의 1들의 pair로 생각하면
- 첫 번째 pair는 를, 두 번째 pair는 를 나타낸다고 볼 수 있으므로
- 두 개의 pair들의 Boolean 방정식은
- 즉 Fig. 2-14a의 네 개의 변수들 중에서 두 개의 변수들과 그들의 complements 들이 제거되었다.
Fig. 2-14b의 네 개의 1들이 정사각형 형태로 있는 경우
- 수평으로 이동하며 변수의 변화를 검토하면 오직 만이 변화한다.
그러므로 D항은 후에 제거됨
- 수직으로 이동하며 변수의 변화를 검토하면 오직 만이 변화한다.
그러므로 B항은 후에 제거됨
- 남는 것은 변수 A와 C
- Fig. 2-14b로부터 유도되는 간략화된 방정식은
Octet
pairs, quads외에 카르노 맵에서 하나 더 고려해야 할 1들의 그룹으로 Octet이 있다.
Fig. 2-15a처럼 8개의 1들이 있는 경우
- octet은 세 개의 변수와 그들의 보수(complement)들을 제거한다.
- octet을 두 개의 quads로 그림 2-15b처럼 고려하면
카르노 맵을 이용한 부울 대수식의 간략화
한 개의 pair : 한 개의 변수와 그의 보수(complement) 제거
한 개의 quad : 두 개의 변수와 그의 보수 제거
한 개의 octet : 세 개의 변수와 그의 보수 제거
Example
① 진리표를 Fig. 2-16a 와 같은 카르노 맵으로 변환하고 Fig. 2-16b를 구한다.
- Octet이 있는가? -> 없다.
- Quad가 있는가? -> 2개 있다. -> 동그라미로 묶는다.
- Pair가 있는가? -> 1개 있다. -> 동그라미로 묶는다.
② 1개의 pair는 를, 왼쪽 quad는 를, 오른쪽 quad는 를 나타낸다.
③ ②의 결과들을 OR 연산함으로써 전체 카르노 맵과 등가의 부울 대수식을 얻는다.
Overlapping Groups
① 카르노 맵 상의 1을 여러 번 중복하여 사용하여도 된다(Fig. 2-17a).
② fundamental product 를 나타내는 1은 pair의 한 구성요소이면서, 동시에 octet의 구성요소이기도 하다.
③ Overlapping group을 이용한 간략화 된 방정식은
④ 물론 overlapping group을 안하고 Fig. 2-17b처럼 하여도 되지만 식이 좀더 복잡해짐
⑤ 그러므로 가능하면, overlapping group을 많이 하여, 큰 group들을 만들면 좋다.
Rolling the Map
① Fig. 2-18a의 카르노 맵에는 pair가 2개 있다. 이 경우의 출력의 부울 대수식은
② 카르노 맵을 둥글게 말아 좌측의 pair와 우측의 pair가 만나게 한다고 상상하면 2개의 pair가 1개의 quad를 구성하게 된다(Fig. 2-18b). 이때 출력의 부울 대수식은
③ ②의 결과식은 ①의 결과식을 정리함으로써도 유도된다.
- 즉, 카르노 맵의 에지에 있는 1들은 반대편 에지의 1들과 group 지을 수 있다.
Examples
① 가능하면 roll과 overlap을 많이 하여 큰 group들을 만든다.
- Fig 2-19a 보다는 roll과 overlap을 실시한 Fig 2-19b처럼 하는 것이 좋다.
- Fig 2-19a 경우의 출력의 부울 대수식
- Fig 2-19b 경우의 출력의 부울 대수식
② Fig. 2-20a는 1들의 grouping이 불충분한 경우를 보여준다. 이것에 대응하는 출력의 부울 대수식은
③ 만약 Fig. 2-20b처럼 roll과 overlap을 실시하면 출력의 부울 대수식은 좀더 간단해 진다.
④ roll과 overlap을 Fig. 2-20c처럼 실시할 수도 있다.
⑤ ③과 ④의 경우가 ②의 Boolean 방정식보다는 좀 더 간략화 된 형태이다.
Eliminating Redundant Groups
① 카르노 맵의 group들 중에서 그의 요소들인 1들이 모두 다른 group들에 중복되어 포함되는 group의 경우 그것을 제거할 필요가 있다. -> 불필요한 group을 추가할 필요가 없다.
② Fig. 2-21a와 같은 카르노 맵은 굳이 (c)와 같이 할 필요 없이 (d)와 같은 형태로 grouping 하면 효과적이다.
정리 : 부울 대수식을 간략화하기 위한 카르노 맵의 이용
※ 우리가 원하는 임의의 논리 동작을 실현하기 위한 논리 회로를 설계하는 경우에 카르노 맵을 이용하여 부울 대수식을 단순화시키면 회로를 간략화 할 수 있다.
① 진리표 작성
② 카르노 맵으로 전환
③ 진리표에서 출력이 1인 경우의 fundamental product와 관련한 카르노 맵의 항에 1 기입
④ ③에서 카르노 맵에 1을 기입한 이외의 나머지 항에 0을 기입
⑤ octets, quads, pairs들을 조사하고 grouping -> 가능한 한 큰 group을 얻기 위하여 roll과 overlap 고려
⑥ 독립된 1도 모두 하나의 소규모 group으로 고려
⑦ group중, 그의 모든 요소가 다른 group에 포함되는 redundant group이 있으면 제거
⑧ 표시된 group들과 관련된 product들의 OR 연산을 취함으로써 주어진 진리표의 결과를 출력하는 부울 대수식을 구한다.

키워드

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