카르노 맵

소개글

카르노 맵에 대한 보고서 자료입니다.

목차

◎ 카르노 맵(Karnaugh Map)
제1. 불 함수(Boolean Algebra)
1-1. 교환 법칙 (commutative laws)
1-2. 결합 법칙 (associative laws)
1-3. 분배 법칙 (distributive law)

제2. OR 연산

제3. AND 연산

제4. 2중 보수(Double Inversion)와 드모르간(De Morgan)의 법칙
4-1. 2중 보수의 법칙
4-2. 드모르간의 법칙

제5. 쌍대성 정리 (Duality Theorem)

제6. 진리표로부터 불 대수식을 유도하는 Sum-of-Products 방법

제7. 진리표로부터 카르노 맵(Karnaugh map) 구하기

제8. Pairs, Quads, and Octets
8-1. Pairs
8-2. Quads
8-3. Octet

제9. 카르노 맵을 이용한 불 대수식의 간략화

제10. Product-of-Sums 방법

제11. Product-of-Sums 회로의 간략화 방법

참고문헌

본문내용

+항은 3 input OR 게이트를 나타내고, 각 괄호들 간의 product는 3 input AND 게이트를 의미한다. 그러므로 <그림23>과 같은 OR-AND 논리회로를 그릴 수 있다.
그러나 TTL 칩에는 3 input OR 게이트를 가지는 칩이 없으므로 <그림23>은 실제적인 설계라고 보기가 어렵다. 드모르간의 제 1 법칙에 따라서, <그림23>의 OR-AND 회로를 <그림24>과 같은 등가의 NOR-NOR 회로로 대체할 수 있다.
11. Product-of-Sums 회로의 간략화 방법
① product-of-sums 방정식을 구한 후, 그것을 불 대수식을 이용하여 간략화 할 수 있다.
② 또는 카르노 맵을 이용하여 간략화 하는 방법도 있다.
Sum-of-Products 회로
① <표9>과 같은 진리표를 설계
A
B
C
D
Y
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1
② <그림26> a와 같은 카르노 맵을 그린다.
③ 1들의 group들을 표시한다.
④ 다음과 같은 sum-of-products 방정식을 얻는다.
⑤ <그림26> b는 등가의 NAND-NAND 회로이다.
Complementary 회로
product-of-sums 회로를 얻기 위하여,
① <그림26> a의 카르노 맵의 모든 요소, 즉 0과 1들의 보수 값들을 취하여(complementing) <그림26> c와 같은 complemented map을 구한다.
② group지어진 1들을 이용하여 다음과 같은 sum-of-products 방정식을 구할 수 있다.
※ 여기서 Y 대신 인 이유는?
- 카르노 맵의 요소 값들을 반전시킨다는 것(complementing)은 진리표의 출력을 반전시킨다는 의미와 같기 때문이며 이는 <그림26> c의 sum-of-products 방정식이 Y를 나타내는 대신에을 의미한다고 볼 수 있다.
③ <그림26> d는를 나타내는 등가의 NAND-NAND 회로이다.
- 이 회로는 원하는 출력을 제공하지 않고 원하는 신호의 반전 신호를 제공한다.
Finding the NOR-NOR Circuit
① 다음으로 할 일은 <표9>의 진리표의 동작을 하는 NOR-NOR 회로를 구성하는 것이다.
② 드모르간의 제 2 법칙()은 NAND 게이트를 bubbled OR 게이트로 대체할 수 있음을 보인다.
- 그러므로 <그림26> d를 <그림27> a로 대체할 수 있다.
③ 디지털 시스템에서는 일반적으로 각 변수와 그의 보수(complement)들을 모두 포함하는 버스(bus)가 제공되므로
- <그림27> a처럼 를 bubbled OR 게이트에 연결하는 대신에, <그림27> b처럼 를 OR 게이트에 연결하는 것으로 대체할 수 있다.
- 비슷한 방법으로 를 bubbled OR 게이트에 연결하는 대신에 <그림27> b처럼 를 OR 게이트에 연결할 수 있다.
- 즉 <그림27> b와 <그림27> a는 서로 등가이다.
④ 다음으로 <그림27> b를 <그림27> c와 같은 형태로 변환한다.
- 출력 게이트 측의 bubble을 왼쪽의 입력 게이트 측으로 이동시키면 된다.
- 이것은 입력단의 OR 게이트를 NOR 게이트로 변환시킨다.
⑤ 마지막으로 출력이 대신 Y 가 될 수 있도록
- 출력단의 OR 게이트를 <그림27> d와 같은 NOR 게이트로 대체한다.
- 이렇게 하여 구하고자 하는 NOR-NOR 회로를 완성하였다.
쌍대성(Duality)
불 대수식의 쌍대성 정리(duality theorem)를 논리 회로의 설계에 적용한다.
① 논리 회로가 주어지면, 그것의 쌍대성 회로(dual circuit)를 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있다.
- 모든 AND 게이트를 OR 게이트로 바꾼다.
- 모든 OR 게이트를 AND 게이트로 바꾼다.
- 모든 입, 출력 신호를 반전시킨다.
② ①과 등가의 다른 설명은
- 모든 NAND 게이트를 NOR 게이트로 바꾼다.
- 모든 NOR 게이트를 NAND 게이트로 바꾼다.
- 모든 입, 출력 신호를 반전시킨다.
③ <그림27> d의 NOR-NOR 회로와 <그림26> d의 NAND-NAND 회로를 비교하라.
- NOR 게이트가 NAND 게이트로 바뀌어져 있고 모든 입, 출력 신호의 부호가 반전되어 있다.
- 이것이 쌍대성 법칙의 한 가지 적용 예이다.
- 이제부터는 NAND 게이트를 NOR 게이트로 대체하고, 모든 신호를 반전함으로써 <그림26> d와 같은 complementary NAND-NAND 회로를 <그림27> d와 같은 NOR-NOR회로로 쉽게 변환할 수 있다.
Example
다음 <그림28> a와 같은 카르노 맵을 이용하여 sum-of-products와 product-of-sums 회로를 구성하라.
<그림28> a에 대한 부울 대수식은 이다.
<그림28> b는 이것에 대한 sum-of-products 회로이다.
<그림28> a의 카르노 맵의 0과 1을 바꾸고(complement) 간략화하면, <그림28> c와 같은 카르노 맵을 얻게 되고 이것의 sum-of-products 방정식은 이다.
<그림28> d는 애 대한 sum-of-products 회로이다.
쌍대성 정리를 이용하여 (d)회로를 (e)와 같은 등가의 NOR-NOR 회로로 바꿀 수 있다.
즉, 주어진 논리 동작을 하는 회로를 (b)와 (e)처럼 2가지 종류로 만들 수 있다.
참고문헌
부울대수와 카르노 맵 - 정보통신실험 2004. 5. 19
디지털 공학실험 「강의, 실험 그리고 설계」 - 이병가 저 2000.
디지털 시스템 <사이텍미디어> - 조성환외 공역 2000.
디지털 논리 회로 <학문사> - 김노환, 이영석 1998.
디지털 공학실험 - 박복식 2001.
「IC에 의한」 디지털 논리 회로 <연학사> - 김상진외 저 2001. 8.
디지털공학 「이론 및 PLD 실습」<사이텍미디어> - 권장우 공역 2001.
디지털 공학 <웅보> - 김학련외 저 2003. 2.

키워드

카르노맵,   불함수,   OR연산,   AND연산,   2중보수,   쌍대성정리,   진리표,   불대수