제논의 역설과 교과교육과정의 관련

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제논의 역설과 교과교육과정의 관련에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 서론
2. 제논
3. 제논의 역설의 등장
4. 제논의 역설의 내용
5.제논의 역설이 수학사에 미친 영향
6. 제논의 역설의 해결
7. 교과서 분석
9. 결론

본문내용

한다.
전개 : 무한등비급수의 의미를 배우고 그 합을 예측해본다.
수렴과 발산의 경우를 알아본다.
제논의 역설이 모순인 이유를 무한급수와 관련하여 설명한다.
정리 : 배운 내용을 공식과 함께 정리한다.
Ⅳ. 학습 지도안
구분
학습 내용
교수 - 학습활동
기타
교 사
학 생
도입
♠제논의 역설
아르키메데스와 거북이의 역설
아르키메데스와 거북이의 역설을 만화를 통해 설명한다.
위의 역설이 직관적으로 모순임을 알게 한다.
만화를 통해 호기심을 갖는다.
제논의 역설이 무엇인지 안다.
개념
파악
전개
♠무한등비급수 정의
첫째항이 (≠0), 공비가 인 무한등비수열의 각 항의 합으로 이루어진 무한급수를 말한다.
…
앞서 배운 내용인 등비수열과 무한급수의 의미를 다시언급하며 등비수열이 무한대로 더해질 경우인 무한등비급수를 설명해 준다.
등비수열을 무한대로 더한다는 의미인 무한등비급수를 파악하고 그 결과가 과연 어떤 형태가 될지 추측한다.
내용
정리
이해
♠무한등비급수의 수렴
＝0일 때,
무한등비급수 은
수렴하고 그 합은 0이다.
≠0일 때,
무한등비급수 은
< 1 일 때 수렴하고,
합은 이다.
☞ 등비수열의 합 공식 이용
이 됨을 알려준다.
…
☞ 처음에 16들어있는 항아리에서 처음에는 8, 두번째는 4 이렇게 절반씩 퍼내다 보면, 퍼내는 양은 8,4, 2, 1,
0.5,0.25,0.125,0.0625…라는 식으로 계속 적어지지만 끝이 없는 작업이 된다.
()
이 때 퍼낸 물의 합계는 당연히 처음 들어 있던 물의 양인 16가 되고 이것은 8+4+2+1+
8+8×+8×()+8
×()+…+8×()
=8× 에서
이면 16
0.5+0.25+…=16와 같게 된다.
항아리에서 물을 절반씩 퍼내어 가는 예를 통하여
< 1
인 경우에
이 됨을 이해하고 결국 무한등비급수의 합이 임을 파악한다.
이해가 되지 않는 부분에 대해서는 주저 없이 질문한다.
♠무한등비급수의 발산
≠0일 때,
무한등비급수 은
1 일 때 발산하고,
합은 없다.
① ＝ 1일 때,
…
가 되므로 ＞0이면 ,＜0이면 -가 되어 발산한다.
② > 1 일 때,
= 가 되므로
＞0이면 ,＜0이면 -가 되어 발산한다.
③ -1일 때,
은 진동하므로,
은 발산한다.
☞ 또는 진동
할 수 있음을 이해한다.
…
하나의 도형에서부터 시작하여 두개, 네 개, 여덟 개… 이렇게 계속 두배로 늘려가며 쌓여지는 상자를 예로 들어 1 일 경우 끊임없이 높아짐을 설명한다.
그동안 앞에서 배웠던 무한수열을 바탕으로 을 ①②③의 세 가지 경우로 나누어 각각을 자세히 설명한다.
계속해서 쌓여가는 상자의 예를 보며 발산하는 무한등비급수를 이해한다.
에 따라 나누어 생각하는 이유를 파악한다.
이해가 되지 않는
부분에 대해서는 주저 없이 질문한다.
♠제논의 역설의 모순의 증명
아킬레스가 거북이의 100배 속도로 뒤쫓고, 거북이의 출발점까지 가는데 1시간이 걸린다고 가정하자. 그러면 아킬레스가 거북이를 뒤쫓아 가는데 걸리는 시간은
(시간)
이 되어 아킬레스가 거북이를 영원히 따라 잡을 수 없는 것이 아니고, 시간 내에서만 거북이의 뒤에 이게 된다. 따라서 시간이 지나면 아킬레스는 거북이를 앞지르게 된다.
만화를 다시 보여주며 아르키메데스와 거북이와 모순을 다시 도입한다.
학생들이 스스로 모순을 밝히도록 가정을 예시한다.
(가정:아킬레스가 거북이의 100배 속도로 뒤쫓고, 거북이의 출발점까지 가는데 1시간이 걸린다.)
아킬레스가 거북이를 뒤쫓아 가는데 걸리는 시간을 계산하게 한다.
가정을 통해 모순이 해결되었는지 발표시킨다.
학생들과 함께 모순을 증명한다.
아르키메데스와 거북이의 역설을 다시 떠올린다.
주어진 가정을 통해 아킬레스가 거북이를 뒤쫓아 가는데 걸리는 시간을 계산한다.
아르키메데스와 거북이의 역설의 모순을 무한등비급수와 연계성을 이해하도록 한다.
정리
♠무한등비급수
정의
등비수열을 끊임없이 더하는 것
수렴
< 1 일 때 수렴하고,
합은 이다.
발산
1 일 때 발산하고,
합은 없다.
수업을 마치기 전에 오늘 배운 기본 개념 중 핵심 내용을 다시 상기시켜준다.
무조건 공식만을 외울 것이 아니라 제논의 역설과 연결시켜 개념을 기억할 것을 강조한다.
핵심 내용을 다시 듣고 제논의 역설을 떠올린다.
개념과 함께 공식을 잊어버리지 않도록 주의한다.
개념
설명
<참고> 학습만화
9. 결론
▶제논의 역설들은 시간과 공간은 무한히 나눌 수 있고 움직임은 불연속의 조합이라고 믿었던 당시의 철학자들에게 파문을 던졌다. 많은 사람들이 이를 해결해 보려 도전하였으나 무려 2500년의 세월이 지나서야 겨우 해결이 되었다. 제논의 역설은 인류 지정사에서 어느 한 주제에 대하여 이토록 원대한 여정이 이루어진 예는 다시 찾아보기 어려울 정도로 많은 이들에게 난제로 여겨졌다. 하지만 그 과정에서 논리학과 수학의 엄밀성을 발전시키는 데 이바지 했으며, 연속과 무한의 개념의 정확한 결실을 맺게 하였다. 이처럼 수학적 원리의 이해를 돕고 그것을 실생활에 적용시킬 때의 딜레마에 대해서 연구할 수 있는 계기가 되었다는 점에서 그의 역설에 대한 가치를 높이 평가된다. 우리는 이러한 제논의 역설을 살펴보고 교과과정과 관계시켜봄으로써 수학사를 교과과정에 도입해보는 좋은 계기가 되었다.
((참고자료))
▶웹페이지:에듀넷: http://web.edunet4u.net/~mathlove/iyagi4.htm
블로그: http://blog.naver.com/hoasubun?Redirect=Log&logNo=150015760001
국회도서관: http://www.nanet.go.kr/
▶도서: 수학사/ Howard Eves(이우영, 신항균 역)/ 경문사
수학사와 수학이야기/ 신항균/ 무지개사
수학사 가볍게 읽기/ 샌더슨 스미스(황선욱 역)/ 한승
무한의 신비(수학,철학, 종교의 만남)/ 아르미 D. 액설/ 승산
0과 무한의 과학/ 로저 펜로즈/ 뉴턴코리아
수학바로보기/ 고중숙/ 여울
▶논문: 수학학습 흥미유발을 위한 유머에 대한 고찰/ 경희대 교육대학원/ 김경찬/ 2005
수학사를 이용한 고등학교 수학교과 지도자료 연구/ 공주대학교 대학원/ 윤두진/ 2002

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