해석학의 역사

본문내용

수의 법칙을 기술하기 위해 사용되는 도구를 구별하는 행동이 필요하게 되었다. 그러나 이것은 일반적 함수 개념으로의 종합이 일어나기 전까지는 이러한 이해 행동은 쉽게 일어나지 않는다.
그리고 이 시기에는 함수가 대수적으로 조작 가능함에 따라 주된 조작성으로 ‘합성’과 ‘역함수 구하기’가 포함되었다. 예컨대 와 , 와 사이의 종속에서 와 의 종속을 이끌어 내는 것은, 함수 표기에서의 합성을 의미하며, 또 와 사이의 종속에서 로부터 로의 ‘역함수 구하기’를 의미하는 것이었다. 그리하여 이전에는 전혀 알 수 없었던 새로운 함수들이 등장하였고, 동시에 함수의 새로운 세계를 열게 되었다.
그러나 더 이상 함수 개념이 확장되지 않았는데, 이것은 미적분이 더 이상의 확장된 함수를 필요로 하지 않기 때문이었다. 다시 말해, 그 시기의 미적분에서는 현대적인 정의의 함수를 사용할 상황이 나타나지 않았다. 단지 특별한 형태만의 함수만이 필요하였다.
7. 대응으로서의 함수 개념 단계
19세기 초부터 수학은 변혁을 겪었다. 이 시기 동안 수학은 새로운 정신과 공리를 얻었으며, 엄밀성과 추상성이 수학에서 중요한 요소가 되었다. 해석적 식으로서의 함수 개념이 그 이상으로 확대될 필요성은 변수 사이의 관계의 모임에서 일반적인 정의를 공식화하고 특정한 함수에 대해 얻어진 결과를 조직하는데서 나타났다. 이러한 과정은 오일러, 달랑베르, 베르누이의 진동 뜬 문제에 대한 논쟁에서 시작되었고, 열전도 문제를 해결하기 위한 푸리에(Fourier)의 삼각급수 이론의 발전과 함께 계속되었으며, 코시(Cauchy), 디리쉴레(Dirichlet), 볼자노(Bolzano)등에 의한 연속함수 개념과 함께 계속되었다.
어떤 함수도 푸리에 급수로 나타낼 수 있다는 푸리에의 결과는 부정확했으며, 푸리에 급수 이론을 엄밀하게 증명하기 위해서는 연속, 수렴, 정적분의 개념과 함수 개념에 대한 분명한 정의가 필요하였다. 코시는 연속, 미분가능성, 적분개념을 극한이라는 용어로 엄밀하게 정의했고, 함수의 연속과 불연속 개념을 본격적으로 다루었다. 그는 이러한 연구과정에서 다음과 같은 함수에 대한 정의를 하였다. ‘한 변수의 값이 주어졌을 때, 다른 변수들의 값을 추론할 수 있는 방식으로 변량들이 연결되었을 때, 이 양들이 독립변수라고 불리는 한 양에 의해 표현된다는 것을 알게 된다. 그리고 나머지 양들은 이변수의 함수라고 불린다. ’
디리쉴레는 푸리에 급수와 그 급수의 수렴 조건을 찾는 연구를 통해서, 1837년 함수의 일반적 정의를 하였다. 그는 ‘변수가 인 모든 값에 대하여 값이 대응하면, 이 구간에서 정의된 는 변수 의 함수이다. 또한 이 대응이 어떤 식으로 만들어지든 그것은 관계없다.’ 디리쉴레는 함수의 개념을 대응으로 진진하게 생각하였다. 그가 제시한 디리쉴레 함수는 해석적 표현으로 주어지지도 않고, 자유로이 그려진 곡선도 아닌 함수의 최초의 명백한 정의 이며, 임의의 대응으로서 함수 개념을 설명하는 것이었다. 또 다른 중요한 점은 디리쉴레가 처음으로 함수의 정의에서 영역을 구간으로 명백하게 제한했다는 것이다. 과거에 독립변수들은 실수 전체에 걸쳐 허용되었다. 디리쉴레의 정의는 두 집합 사이이 대응의 현대적인 관점과 유사하지만, ‘집합’과 ‘실수’개념은 그 시기에 아직 확립되지 않았다.
이러한 점에 의하면, 함수의 일반적 개념의 종합이 왜 그렇게 어려운지가 분명해 진다. 그런 개념이 되어야 하는 이유를 보이기 위해서는 단지 특정한 예의 사용만을 보여서는 안되고 함수 공간에서의 정의가 필요함을 느껴야 한다. 함수의 개념화는 ‘과정’의 단계 이상이 되어야 하고, 그 개념이 원소로 다루어질 때 가능하다. 그러기 위해서는 함수 개념에 대한 임의성이 필요하게 된다. 임의성은, 변하는 대상에 대해서는 실수 집합에서 임의의 집합으로의 확장을 말하며, 변하는 대상들 사이의 관계의 측면에서는 규칙성에 임의의 대응으로서의 확장을 말한다. 디리쉴레의 함수 개념은 그 이전의 함수 개념과 비교해 보아 이상한 함수도 포함한다. 디리쉴레 함수와 같은 함수는 자유롭게 그려질 수 있는 곡선으로 표현될 수 없고, 연속이지만 어느 곳에서나 미분 가능하지 않는 함수도 있다. 이러한 예는 문제 그대로 얻어진 정의의 논리적 결과이다. 이러한 예를 함수로 만들기 위해서는 수학에서 정의의 역할을 알거나 통찰에 의해 알려지지 않은 다른 대상의 측면을 기술함으로써가 아니라 논리적으로 관련이 있는 것으로 보는 수학적 문화에 성숙해야 한다. 학생들이 만나는 보통의 함수는 모든 곳에서 연속이고 유한 개의 점에서만 미분 불가능한 함수이다. 그러한 드문 함수는 함수의 집합체에서는 오히려 드물게 나타난다.
디리쉴레 함수 이후로 병적인 함수 족들이 다음 반세기 동안 쏟아져 나왔다. 어떤 함수들은 여러 결과들의 적용가능성을 시험하기 위해서 도입되었으며, 어떤 함수들은 개념이나 결과를 확장하기 위해서 도입되었다. 이전의 해석학에서는 순서, 규칙성이 조사된 반면, 이 시기에는 예외와 불규칙이 조사되었다. 바이어쉬트라스(Weierstrass)는 1872년에 모든 곳에서 미분 불가능한 연속함수를 제시하였다. 그는 그럴 듯 하고 널리 인정된 개념에 반례를 제시함으로써 엄밀성에 대한 기준의 필요성을 실증하게 되었다. 반례는 수학에서 중요한 역할을 한다. 그것은 관계를 명백히 하고, 개념을 뚜렷하게 하며, 종종 새로운 수학을 만들기도 한다.
8. 관계로서의 함수 개념 단계
20세기에 들어와 집합의 개념이 명확해지고, 거리 공간, 위상 공간 등의 개념이 도입되고, 그러한 공간들 사이의 함수가 중요한 역할을 하게 되었다. 부르바키(Bourbaki)는 1939년에 함수를 다음과 같이 정의하였다. ‘를 집합이라고 하자. 의 변수 와 의 변수 사이의 관계가 만약 모든 에 대하여 와 주어진 관계에 있는 가 하나만 있다면, 그 관계를 에서의 함수적 관계라고 한다. ’ 우리는 이런 식으로 모든 에 와의 관계에 있는 를 관련시키는 연산에 함수라는 이름을 준다. 그리고 를 원소 에서의 함수 값이라고 하며, 주어진 함수적 관계에 의하여 함수가 결정되었다고 한다. 함수 관계가 같으면 그 함수는 같다.

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