오차론(誤差論)에 대하여

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오차론(誤差論)에 대하여에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

동급으로 취급하는 것은 공평한 처리 방법이 못되기 때문이다.
신뢰도가 높은 수치에는 이것에 적당한 가중치를 붙여 취급하여야 한다. 이것을 고려한 것이 최소자승법에 의하여 얻어진다. D = M/V, M - DV = 0 인데 각 측정치에 오차가 있으므로
　
을 최소로 하는 D를 구하는 것이 최소자승법이므로 다음과 같이 계산한다.
이것을 변형하면
이 된다. 여기서
은 가중치의 역할을 하고 있다.
(7) 오차의 전파
직육면체의 가로, 세로 및 높이를 각각 열 번씩 측정하여 그 부피를 구하는 실험을 생각해 보자. 이들 데이터를 이용하면 1,000개의 부피에 관한 데이터를 얻을 수 있고 이로부터 평균값과 표준편차를 구할 수 있다. 그러나 보다 합리적인 방법은 가로, 세로, 높이에 대한 각각의 평균값들을 먼저 구하고 이 평균값들을 곱하여 부피를 구하는 것이다.
이 경우에 문제점은 부피의 오차를 추정하는 것이다. 한 가지 분명한 점은 각 변의 길이의 오차 때문에 부피의 오차가 생긴다는 것이다. 따라서, 실제 측정상의 개별적 오차가 계산하고자 하는 물리량에 어느 정도 전파되는가를 알 필요가 있다.
구체적으로 어떤 물리량 z가 다른 물리량 x, y, … 의 z = f ( x, y, … ) 의 관계로 주어졌다고 하자, 그리고 x, y, … 의 측정으로부터
의 평균값과 σx ,~ σy , …의 표준편차들을 얻었다고 하자. 그러면 z의 평균값은
로 주어지며 z의 표준편차는 다음과 같다.
　
여기서
는 평균값 에서 계산한 편도함수들을 의미한다.
위의 식을 오차의 전파공식이라고 한다.
실제로 다음과 같은 경우들은 간단한 실험에서 자주 나타나므로 익숙해 두는 것이 편리하다 ( 보기에서 a, b는 주어진 상수이다. )
(1)
z~=~ax +- by~~~~~ {delta}`_{z}^{2}= {a}^{2}{delta}`_{x} ^{2}+{b }`_{ } ^{2 }{delta }`_{y } ^{2 }#
(2)
z~=~axy~~~~~~~~~ {{delta}`_{z}^{2} } over {{z}^{2} } ={{delta}`_{x}^{2} } over {{x}^{2} }+
{{delta}`_{y}^{2} } over {{y}^{2} }#
(3)
z~=~a {x} over {y}~~~~~~~~{{delta}`_{z}^{2} } over {{z}^{2} } ={{delta}`_{x}^{2} } over {{x}^{2} }+
{{delta}`_{y}^{2} } over {{y}^{2} }#
(4)
z~=~a {x}^{b}~~~~~~~~~~~ {delta}_{z}=ab {x}^{b-1} {delta}_{x}#
(5)
z~=~a {e}^{bx}~~~~~~~~~~ {delta}_{z}=bz {delta}_{x}#
(6)
z~=~alogbx~~~~~~~~~ {delta}_{z}= {a} over {x} {dleta}_{x}
측정오차가 작을수록 좋다는 것은 자명하다. 그러나 제한된 시간에 주어진 장비로 최대한의 좋은 결과를 얻으려면 결과적인 최종오차 σz가 최소가 되도록 x , y , …등의 오차들을 상대적으로 최적화 되도록 실험을 계획하는 것이 바람직하다. 위의 공식들을 보면 덧셈과 뺄셈에서는 절대오차가 같은 정도의 크기가 되도록 하는 것이 좋다. 또한 곱셈과 나눗셈에서는 상대오차가 같은 정도가 되도록 하는 것이 합리적이다. 유효숫자를 다룰 때 숫자의 가감승제에서 이러한 오차전파의 공식이 반영되어 있음을 알 수 있다. 그리고 공식 (4)와 (5)에서 보듯이 멱함수의 경우에는 지수가 클수록 전파되는 오차량도 커지는 것을 알 수 있으므로 특히 정밀한 측정이 요구된다.
　

키워드

오차,   유효숫자,   대표값,   편차,   확률오차,   최소자승법