제어시스템 설계

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법은 4계 방법인데 함수 계산을 단지 4번만하면 되는 어떤 표현을 전개함으로써 구한다. 이 표현을 유도하기 위해서는 12개의 미지수가 연루된 연립방정식을 풀어야 한다. 대수 계산을 하고 나면, 방법은 다음과 같은 간단한 모양을 가진다.
여기서 I=0,1,2,3...,N-1이고 지역 오차는 이며, 전역 오차는 이다.
3. 위의 미분방정식을 SimTool의 Sum, Integrator 등의 블록을 이용하여 해를 구하고 위의 해와 비교하시오.
( Simtool을 이용한 예제 3번 풀이)
다음과 같이 함수를 정의하여 미분방정식의 해의 그래프를 찾을 수 있었다.
우선 함수의 입력을 총 3개로 받는데 여기서 중요한 것은 generate function의 입력 표시에 관한 것인데 처음 초기치는 x.^2즉 제곱 함수인 것을 기초로 하여 처음 입력 신호에 대해서는 #1, 두 번째 입력 신호에 대해서는 #2, 세 번째 입력 신호에 대해서는 #3가 된다.
이를 사용하여 generate function의 설정을 Number of inputs : 3으로 설정하고 Commend String에 미분 방정식을 적을수가 있다. 여기서 미분 방정식은 xdot(2)에 관한 방정식이기 때문에 다음과 같이 -1*#2-10*#3-3의 함수의 값을 입력할 수 있다. 2번째 입력신호인 #2는 xdot(1)을 의미하며 3번째 신호 #3은 x의 값이 된다. 즉 출력되는 그래프는 마지막 스코프에서 확인 할 수있다.
( 그래프 시간축 0~10초 )
위의 그래프가 그 해이다 앞에서 구한 그래프와 거의 일치하는 것을 볼 수 있다.
마찬가지로 우리는 xdot(2)와 xdot(1)에 대한 그래프를 Simtool을 이용하여 관찰 할 수 있다. 아래의 블록다이어그램과 그래프는 그 실례이다.
scope = x
scope2 = xdot(1)
scope3 = xdot(2)
이에 대한 그래프를 살펴보면,
위와 같은 형태의 해를 가진다.
이 다음으로는 MATLAB의 시뮬링크를 이용할 것이다.
3. 위의 미분방정식을 SimTool의 Sum, Integrator 등의 블록을 이용하여 해를 구하고 위의 해와 비교하시오. (MATLAB Simulink)
상기의 기술된 미분 방정식에 대한 풀이이다. 여기서 fcn은 사용자 지정 함수이고 xdot(2)에 대하여 2번을 적분을 시행하면 x가 되므로 마지막 scope의 결과에서는 x에 대한 그래프가 보여지고 그 옆에 있는 scope1은 xdot(1)에 대한 해석치를 보여준다. 여기서 입력으로는 스텝함수로 하였으며 1초에서 3의 진폭을 가지는 source를 사용하였다. Fcn 식으로는 -1*u(2)-10*u(3)-3이다.
SCOPE에 대한 결과 그래프 [구간 0~5초]
다음페이지는 앞에서 구한 해의 그래프와 SCOPE에서의 그래프와 비교하는 그림을 나타내었다.
( MATLAB Simulink ) ( Simtool )
< ode45를 통한 x의 해 >
소 감 : 아직까지 cemtool과 simtool을 능숙하기 다루기는 어려웠다. 물론 이러한 프로그램을 돌리기 이전까지는 기초적 학문 학습이 선행되어야 할 것이며, 쉬운 예제를 통해 직접 시뮬을 돌려보는 것도 괜찮을 것 같다.
※ 추가 문제
각 방정식의 해를 구하고 그래프를 도식하여라.
1.
위의 방정식의 해는 아래와 같다.
>> syms x y;
>> solve('17*x^2-16*x*y+17*y^2-225')
ans =
8/17*y+15/17*(-y^2+17)^(1/2)
8/17*y-15/17*(-y^2+17)^(1/2)
이에 대한 그래프로는 아래와 같다.
2.
(해의 표현 불가 : 많은 인수분해를 가진다 ;)
따라서 그래프만 도식하면

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