비유클리드 기하 탄생의 배경과 발전 ,유클리드 기하학과 비유클리드 기하학, 수업시간에의 활용 ,도형의 방정식에서의 활용

소개글

비유클리드 기하 탄생의 배경과 발전 ,유클리드 기하학과 비유클리드 기하학, 수업시간에의 활용 ,도형의 방정식에서의 활용에 대한 보고서 자료입니다.

목차

Ⅰ. 들어가며

Ⅱ. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학
1. 유클리드 기하학
1) 유클리드(B.C.365? ～ B.C.300?)
2) 유클리드의 <원론(原論)>(Element)
2. 비유클리드 기하학
1) 여러가지 기하학의 발달
2) 비유클리드 기하학
3) 비유클리드 기하학의 영향

Ⅲ. 수업시간에의 활용
1. 도형의 방정식에서의 활용

Ⅳ. 나오며

본문내용

를 우선 해 주고, 그 다음, 해석기하학의 발견에 대한 에피소드를 재미나게 이야기해 줍니다.(데카르트의 해석기하학 발견에 대한 이야기는 조금 과장되게, 그리고 역사적 사실에 정확하게 일치하지 않더라도 재미나게 이야기해 주는 것이 좋다고 생각합니다.) 그리고 해석기하학이 기하학의 발전에 미친 이야기, 즉, 여러 수학적 명제들을 좌표 평면상에서 해석적으로 증명할 때, 증명이 훨씬 더 간단하고, 더 많은 수학적 명제를 만들어 낼 수 있다는 이야기를 합니다. 그러니까, 원에 대한 성질이나 접선, 파푸스의 중점연결 정리같은 것들을 예를 들어 이야기해 줍니다.(페르마에 대한 이야기는 나중에 확률부분에서 파스칼과 함께 이야기 해 주는 것도 좋다고 생각합니다). 르네상스가 과학과 예술에 미친 영향을 이야기하면서, 원근법과 투시도법이 도입된 이야기를 해주고, 그것이 수학에 미친 영향을 함께 이야기해주면, 아이들은 수학이 역사와 함께 발전한다는 것에 대해 잠시 생각하는 듯 합니다. 그러한 수학적 발견과 역사적 발전에 대한 이야기를 하고, 이제 유클리드의 제5공준, 평행선 공준에 대한 이야기로 넘어갑니다. 그 공준이 증명 가능한 명제인가, 아니면, 공준인가... 그와 관련된 수학적 사실을 이야기 해 주고, 그것을 부정함으로써 생겨난 비유클리드 기하학에 대한 이야기를 해 줍니다. 어려운 얘기는 접어두고, 아이들이 이해할 수 있을 만한 그런 이야기들, 그러니까 구면 기하학에 대한 대략적인 이야기(이 이야기를 할 때에는 개미가 살고 있는 공간에 대한 이야기를 해 주면 이해가 쉬우리라 생각합니다. 개미는 3차원 공간에서 살고 있지만, 개미는 항상 땅에 붙어서 살기에 2차원 공간에서 사는 것과 같고, 개미의 입장에서 3차원을 생각해보면, ‘굽은 공간’이라는 의미를 조금은 받아들이는 것 같습니다.)와 쌍곡기하학에 대한 대략적인 이야기를 해 줍니다. 그 두 개의 기하학에서는 평행한 직선이 하나도 없거나 무수히 많거나 하는 것을 대략적으로 설명해 줍니다. 물론, 못 알아듣는 아이들이 대부분이기 때문에 깊이 이야기 할 필요는 없다고 생각됩니다. 그러는 중간 중간에 비유클리드 기하학을 발견한 수학자의 이야기를 곁들이면 아이들의 눈망울이 달라집니다. 그리고 비유클리드 기하학이 그 당시의 사람들에게 받아들여지지 못했던 철학적 이야기도 곁들여 주면, 수학이 철학과 삶 사이에 밀접한 관계가 있다라고 생각하는 듯 합니다. 비유클리드 기하학이 과학에 응용된 예로는 아인슈타인을 예로 듭니다. 그의 우주를 간단하게 설명해 주고, 그러한 아인슈타인의 우주론에 입각해서 만들어진 영화 ‘혹성탈출’(팀 버튼 감독이 리메이크한 ‘혹성탈출’이 아닌, 피에르 바울러의 원작 을 마이클 윌슨, 로드 설링이 각색하여 1968년 영화화한 작품으로 과학 문명과 종교를 풍자한 아주 진보적인 SF 명작. 지구 멸망 뒤, 유인원이 지배하는 세계를 그린 아주 획기적인 스토리와 인류의 멸망을 경고하는 주제, 그리고 영화 마지막 장면의 충격 등으로 영화팬들이 잊을 수 없는 영화사에 남을 SF 수작이라고 함-‘혹성탈출’은 일본식 표현이고, 우리나라 표현에 따르자면 ‘행성탈출’이 맞다고 합니다)에 대한 이야기를 간략하게 소개합니다. 그러고 난 후, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학이 수학적으로는 동치이며, 현재에는 두 기하학 모두 많은 수학자들에 의해 연구되어지고 있고, 더욱더 발전된 여러 가지 기하학들은 “여러분들에 의하여 발견되고, 더욱더 발전될 것이라고 믿습니다.”라는 얘기로 수업을 마무리합니다.
3) 대부분의 아이들은 이러한 이야기를 해주면, 딱딱한 수학내용이 아닌, 재미있는 이야기라고 생각하는 것 같습니다. 물론, 조는 아이들도 있고, 혼자 수학문제를 푸는 아이들도 있고, 떠드는 아이들도 있습니다. 그럼에도 이러한 이야기를 해 준다는 것은 수학에 대한 관심을 높일 수 있다고 생각합니다. 또한 수학이 인간의 삶, 철학, 과학, 예술등과 함께 발전되어 왔고, 영화 속에서도 수학적 내용을 발견해 낼 수 있다는 것이 수학에 대한 친숙감으로 다가올 것이라 생각합니다.
Ⅳ. 나오며
위의 모든 글은 수학에 관련된 여러 서적을 참고로 하여 썼습니다. 대부분의 선생님들께서 알고 계신 내용이라 생각되지만, 여러 자료를 찾을 필요 없이 비유클리드 기하학의 발전에 대한 내용과 그 수학자들에 대해서 한번에 알아볼 수 있도록 하기 위해 가능한한 많은 자료를 모으려고 했음에도 부족한 부분이 많은 것 같습니다. 수업시간에 하는 수학사 이야기는 단지 문제풀이만을 강조하는 현재 중등교육의 수학에서 인간의 삶 속에 살아 숨쉬는 수학으로의 전환을 가져오는 계기가 되는 것 같다라는 생각이 듭니다. 지금까지 제가한 수학 수업에서의 수학사 이야기는 단순히 수학자들의 인간적 삶에 대한 이야기와 수학의 발전에 대한 파편적인 지식들의 전달에 지나지 않았나 하는 반성을 해 봅니다. 수학사에 대해서는 앞으로 그 단원의 수학자나 수학적 흐름뿐만이 아니라, 그 단원이 생겨나고 발달해온 역사적 배경과 각각의 시대에 맞는 철학적 배경, 그리고 수학이 발달하게 된 세계사적 흐름까지도 함께 연구되어야 할 것이라고 생각합니다. 그러한 수학사에 대한 이야기를 수업시간에 아이들에게 활용할 때, 그것이 수업시간에 학생들에게 역사를 보는 관점을 정립하게 하고, 역사 속에서 살아 숨쉬는 유기체로서의 수학을 인식하게 할 수 있으리라고 조심스럽게 전망해 봅니다. 계속된 수학사에 대한 연구를 통하여 수학이 인간의 삶에 어떠한 변화를 가져왔고, 어떠한 영향을 미쳐 왔으며, 앞으로의 미래에 미칠 영향은 어떠한 것인가를 조명해 볼 수도 있을 것입니다. 이제 걸음마 단계인 수학교사로서의 수학사 연구는 여러 선생님들의 힘으로 더욱더 깊고 넓게 계속될 것이라고 믿어 의심치 않습니다. 또, 개인적으로 수업시간의 작은 노력과 시도들이 앞으로의 수학교육 발전의 단초를 제공할 것이라고 생각합니다. 수학사를 수업시간에 활용하기 위해 고민하시는 여러 선생님들께 이 글이 조금이라도 도움이 되셨으면 좋겠다는 생각과 함께, 앞으로의 수학사 연구는 여러 선생님들과 함께 하고 싶다는 생각을 해 보며 글을 마칩니다.

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