오차정리

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본문내용

결해서는 안 된다. 연속적으로 고르게 변화하는 물리량이 오차 때문에 분산된 것이라면 실험곡선(experimental curve fitting)을 그려 넣어야 한다. 이 때 각 측정점이 곡선의 양쪽에 공평하게 분리되도록 유의하여야 한다.
변수들의 관계를 표현할 수 있는 가장 유력한 형식은 수학적인 방정식이다. 이와 같은 방정식으로부터 다양한 수학적인 전개와 추가적인 정보를 추론할 수 있다. 예를 들면 그래프에서 직선은 쉽게 방정식으로 나타낼 수 있다. 실험곡선식을 얻는 가장 합리적인 방법은 최소제곱법이다.
최소제곱법에 의한 곡선맞춤(curve fitting)의 기준은 간단하며 직접적으로 통계적인 개념에 그 기초를 두고 있다. 예를 들어 두 변수 와의 선형관계를 생각하자. 를 독립변수로 를 종속변수로 정의한다. 이들 상호간의 선형관계는
(1)
로 표시할 수 있다. 여기에서는 위와 같은 일차(first order) 최소제곱법만 논의하기로 한다.
측정값 (,)의 집합에서 에는 측정 오차가 없었다고 가정하고 의 값에는 오차가 포함된다고 하면
로 쓸 수 있으며 Ei는 측정 오차이다. 그러나 오차는 미지의 양이기 때문에 윗식으로부터 a와 b를 구할 수 없다. 선형관계식 (1)이 성립한다고 가정할 때 측정값의 집합은 a와 b에 대한 근사치를 얻는데 사용할 수 있다. 이러한 근사치를 각각 α와 β라고 정의한다.
모든 측정치 에 대응하여 방정식 (1)에서 주어진 α＋β에 해당하는 예측된 값＝α＋β가 있다. 측정치 로부터 예측된 값 의 편차는 －＝－α－β이며, 이 편차들의 제곱의 합은 아래와 같다.
구하고자 하는 근사치 α, β는 이 제곱들의 합을 최소로 만드는 측정값들의 함수이다. 이러한 최소제곱 근사치는
으로 주어지며 및 는 각각의 산술평균이다. 따라서 실험곡선식은 다음과 같이 표현할 수 있다.
그러나 와 사이의 선형관계에 관한 더 많은 추정을 하기 위해서 이런 근사치들을 사용하기 전에 분산 과 α, β의 표준분포의 분산에 대한 값을 얻어야 한다. 통계이론에 의하면 모든 x에 대하여 동일하다고 가정된 주어진 에 대한 의 분산은 평균평방편차에 의해서 불편적으로 측정되며 다음과 같다.
근사치 β의 추정된 분산 는 분산의 추정치 을 에 대한 평방의 합으로 나눈 것이다. 즉
근사치 α의 추정된 분산 σα는 더욱 복잡하며 다음과 같이 주어진다.
위에서 논의된 분산들로부터 근사치 α, β에 대한 표준편차의 계산은 쉽게 할 수 있다.

키워드

오차정리,   길이 측정,   data 처리