[선형대수학]고유치 문제 - 고유치와 고유벡터

소개글

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목차

※ 고유치 문제의 응용
⑴ 수치적 방법을 이용한 고유치 해석
-> ① 기존 모드 중첩법
-> ② 모드 가속도법
-> ③ 모드 절삭 보강법
⑵ 해석적 방법을 이용한 고유치 해석
-> ① 전달함수 합성법
-> ② 민감도 해석
⑴ 레이라이 지수법
-> ① 시간에 따른 분해 반응
-> ② 시간에 따른 충격하중 부하 반응
-> ③ 감소시키는 기법
-> ④ 인체 모델에서의 응용
-> ⑤ 주 절점 선정 결과
⑵ 섭동법
-> ① 유한요소모델
-> ② 실험모델
⑶ 민감도 해석법
⑷ 모드 합성법
⑸ 라그랑지 승수법
※ 참고자료

본문내용

조건을 다루기 위하여 변경전 구조물의 모드 데 이터와 라그랑지 승수를 사용한다. 다른 방법에서는 다루기 힘든 구조물 간의 연결문제나 모드 영역에서 파악하기 힘든 비선형계의 진동 해석 등에 응용될 수 있으며 구조 변경의 양 에 관계 없이 정확한 고유치 해석이 가능한 장점이 있다. 이 방법은 비교적 결합부위의 자 유도가 작은 간단한 구조변경에 적합하며 수학적인 관점에서 구조 변경으로 인한 모드 변화 의 경향을 연구하기 위해서 많이 사용되었다
Ex) 상대 조인트 좌표 공식을 이용한 부분 시스템 운동 방정식
-> 상대 조인트 좌표 공식에서는 부분 시스템에 대해 단지 절단 조인트의 구속조건들만이 고려된 다. 만약 가상의 절단이 물체 과 사이에서 이루어졌다면, 절단 조인트 구속 방정식은 다음과 같 이 물체와의 위치와 자세의 함수로 표현할 수 있다.
(5.1)
라그랑지 승수법을 사용함으로써, 다음과 같이 부분 시스템에 대한 가상일의 운동 방정식이 얻 어진다.
+ + + + (5.2)
여기서, 는 상태 벡터에 대해 기구적으로 허용 가능한 가상 변위이고, 와 는 각각 상태 질 량 행렬과 상태 힘 벡터이다.
기구학적인 순환 공식을 적용하면 상대 조인트 좌표와 기준 물체 좌표에 대한 부분 시스템 운 동 방정식이 얻어진다.
= (5.3)
기준 물체를 제외한 부분 시스템 운동 방정식은 첫 번째와 두 번째 식에 의해, 다음과 같이
얻어진다.
(5.4)
식(5.4)는 공간에서 일반 좌표 분할법에 의해 상미분방정식의 형태로 변환이 가능하다. 그리 고, 독립 일반 좌표 v는 암시적 함수 이론에 의해 부분 시스템의 상대 조인트 좌표 q 내에서 선 택될 수 있다. 일반 좌표 분할법에 의한 독립 좌표 v의 함수로 나타내어진 운동방정식은 다음과 같다.
(5.5)
(5.6)
여기서,
이다.
Problem3 :
-> 이 방법은 기존 구조물과 변경 구조물의 주파수 응답 함수만을 사용하여 고유치 재해석을 하 는 방법이다.
⑴ 모드-힘 방법
-> 이 방법은 구조 합성법의 일종이다. 구조변경은 구조물간의 결합으로 간주할 수 있으며, 각 구조물은 연결 부위에서 변위 구속조건과 힘 구속 조건을 갖는다. 이들 구속 조건을 사 용하여 구조물이 결합한 후의 전체 구조물의 주파수 방정식을 얻는다. 이 방법은 모든 데이 터를 주파수 응답 함수로 나타내어 모드 자름 오차가 없고 따라서 수치모델이 필요 없다는 장점이 있다. 그러므로 변경구조물에 대한 주파수 응답 함수의 측정치만을 이용하여 정확한 고유치 재해석이 가능하다. 또한 행렬식 계산에서 주파수 응답 함수의 오차에 비교적 둔감 한 고유치 해석 결과를 얻을 수 있다. 이때 지배방정식의 자유도는 부분 구조물간의 연결 자유도와 같으므로 비교적 적은 계산량이 요구된다.
Ex) 전계의 MFE 구성
-> MFT에서는 분계의 결합자유도의 FRF행렬에 적합조건과 연속조건을 적용하여 MFM과 MFV의 곱으로 구성된MFE을 구성한다. 여기에서 결합자유도만을 고려하므로 전 자유도의 운동방정식에서 유도된 일반적인 고유치 문제를 풀어내는 것보다 적은 계산량으로 진동시스템의 동 특성을 구할 수 있으 며, 임피던스법과는 달리 분계 FRF행렬의 역 행렬을 계산하지 않아 계산속도가 빠르고 수치계산 알고리즘을 단순하고 쉽게 전개할 수 있다. Fig.4와 같이 구성된 전계에 대하여 MFE를 구해보자.
Fig.4 Vibration System constructed with Subsystem A anb B
Fig.4와 같이 진동시스템을 분계 A, B로 나누어 나타낼 경우 분계 A, B의 진동거동은 FRF행렬 을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(6.1)
(6.2)
자유경계조건에서 분계의 내부자유도의 가진력은 없으므로, 가진조건은 다음과 같다.
(6.3)
식(6.3)을 식(6.1), (6.2)에 대입하면 다음과 같다.
(6.4)
(6.5)
식(6.4), (6.5)의 상단행렬을 정리하여 나타내면 다음과 같다.
(6.6)
Fig.4와 같이 강결합으로 이루어진 전계의 기하학적 적합조건과 연속조건을 다음과 같이 나타 낼 수 있다.
(6.7)
식(6.7)을 식(6.6)에 대입하고, 물리-좌표계의 변위를 소거하면 다음과 같다.
(6.8)
식(6.8)의 MFE는 전계의 기하학적인 적합조건, 연속조건, 분계의 주파수 응답식을 만족하는 고 유치문제이다. 따라서, MFV가 Non-Trivial 해를 갖기 위해서는 MFM의 결정인자가 0이 되어야 한 다. 전계의 고유주파수는 결정인자가 0이 되는 주파수이며, 이 때의 MFV는 전계 모드에서의 결합 자유도의 결합력을 나타낸다.
※ 참고자료
▶ 선형대수학(京文社) - 이은휘, 구기식 공저
▶ http://santafe.kaist.ac.kr/nrl/index.php?mode=sdm
▶ http://sdvc.kaist.ac.kr/article/dissertation/1999_CSW_MS.pdf
▶ http://gsaek.kookmin.ac.kr/professor/%B1%E8%C2%F9%B9%AC/paper/%C0%FC%B4%DE%
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B9%CE%B0%A8%B5%B5%C7%D8%BC%AE.doc
▶ http://cadal.snu.ac.kr/Research03/NRL_SEMINAR_030307/%C1%F6%B4%C9%B1%B8%C1%
B6/NRL_3_7/NRL%282003%29_3_7.ppt
▶ http://www.mscsoftware.co.kr/upfile/conference_pdf/MSC_sens.pdf
▶ http://vdl.kookmin.ac.kr/paper_data/degree_paper/%C7%D0%C0%A7%B3%ED%B9%AE%28
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▶ http://multibody.metric.or.kr/pdf/8th/03f294.pdf
▶ http://www.mscsoftware.co.kr/upfile/conference_pdf/%EA%B9%80%EB%AF%BC%EA%B8%
B0_%EB%85%BC%EB%AC%B8.pdf

키워드

고유치 문제,   고유치,   고유벡터,   선형대수학,   선형대 고유치 벡터