[수학의이해 A형] 1. 유클리드의 원론에 대해서 논하여라 [수학의 이해]

소개글

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목차

1. 유클리드의 원론에 대해서 논하여라 (7.5점).
1) 유클리드의 원론 기원, 개념, 공식
2) 유클리드의 원론의 구성
3) 유클리드의 원론의 영향

2. 3차방정식의 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는데 그 이유에 대하여 논하여라 (7.5점).

3. 피타고라스 정리를 각자 독특한 방법을 사용하여 증명하라 (7.5점).
1) 직관적인 방법에 의한 넓이 비교
2) 대수와 기하 혼합

4. 주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 것이 불가능한 이유를 설명해 보라 (7.5점).

참고문헌

본문내용

정사각형을 작도하는 것이 불가능한 이유를 설명해 보라 (7.5점).
이 문제는 ‘주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제’로서
x² = πr², 곧 x² - πr² = 0 ∴ x = r√π이다.
이 문제의 발단은 ‘히포크라테스의 초승달’에서 유래하였다. 다음 그림과 같이 직각이등변삼각형의 직각의 꼭지점을 중심으로 하고, 직각을 낀 한 변을 반지름으로 하여 원둘레의 1/4인 호를 그린다. 그리고 직각이등변삼각형의 빗변을 지름으로 하는 반원을 이호의 바깥쪽에 그려보면 초승달 모양의 도형이 만들어지는데, 이 도형을 발견자의 이름을 따서 ‘히포크라테스의 초승달’이라고 부른다. 그런데 이 초승달 모양의 넓이와 처음의 직각이등변삼각형의 넓이는 서로 같다는 것이다. 먼저 두 도형의 넓이가 같음을 증명해보자.
직각이등변삼각형의 한 변을 2a라고 하면 4분원의 넓이는 1/4 × π(2a)² = πa²이다. 그런데 반원의 지름, 즉 직각이등변삼각형의 빗변의 길이는 √(2a)² + (2a)² = 2√2a이기 때문에 반지름의 길이는 2√2a/2= √2a이다. 따라서 이 반원의 넓이는 1/2 × π(√2a)² = πa²이다.
여기서 사분원의 넓이 = 반원의 넓이이다.
∴ 공통부분인 활꼴 부분을 빼면 직각이등변삼각형의 넓이 = 초승달 모양의 도형의 넓이
이 초승달은 직선으로 둘러싸인 도형과 같은 면적의 곡선 도형이 있다는 사실을 알려 주었고, 그리스 사람들은 원과 같은 면적을 가진 정사각형을 만들 수 있지 않을까 생각하였던 것이다. 이 원적 문제를 최초로 연구한 사람은 고대 그리스 철학자인 아낙사고라스(Anaxagoras : B.C. 500(?)∼B.C. 428)이다. 그는 최초의 과학 베스트셀러로 평가받고 있는 자신의 책『자연에 대하여(On Nature)』에서 “태양은 신이 아니라 붉고 뜨거운 커다란 돌이며, 그리스 반도와 섬을 합친 것보다 크고 태양에서 반사된 빛이 달을 빛나게 한다.”고 기록함으로써 ‘태양을 신이 아니다.’고 주장했다는 죄목으로 감옥에 갇혀 있는 동안에 이 문제를 생각했다고 한다. 당시에는 ‘원(圓)’이 완전성을 의미하는 신(神)의 상징이었던 반면, ‘사각형(四角形)’은 ‘대지(大地)’, 즉 ‘이 세상(世上)’을 뜻했기 때문에 원 안의 사각형은 하늘과 땅의 만남을 의미하였다고 한다. 그리하여 아낙사고라스는 하늘과 그 아래에 있는 대지의 크기가 같은지 어떤지가 무척 궁금했다고 한다. 따라서 그가 이 문제를 생각해낸 배경에는 이런 사상적 흐름이 깔려 있는 것이다. 이 문제에 가장 먼저 도전장을 낸 사람은 B.C. 480년경∼411년경 아테네에서 활동한 안티폰(Antiphon)이었다.
참고문헌
황혜정 외, 수학교육학신론, 문음사, 2007.
우정호, 수학적 발견의 논리- 임레 라카토스지음, 아르케, 2001.
이종우, 기하학의 역사적 배경과 발달, 경문사, 1997.
김진년, 고차 방정식의 근의 공식에 관한 연구, 인천대학교 석사학위논문, 2008.
최선영, 피타고라스 정리에 관한 연구, 석사학위논문, 충북대학교, 1990.

키워드

유클리드,   원론,   3차방정식,   피타고라스 정리,   수학의 이해