확률과 관련된 이야기2

목차

1-강 건너편 물가를 걷는 사람
표 만들기


2-확률의 삼각형
1)100점을 맞을 확률은?

3-메레가 파스칼에게 낸 문제

1)앞면이 나올 확률이 0.5가 되지 않는 동전

4-확률과 트럼프

1)수 학 탐 험

본문내용

가 합쳐진 경우로 그 확률은 약 0.0014이다.
포 카드 같은 수의 카드가 4장 모일 경우로 그 확률은 약 0.00024이다.
스트레이트 플러시 같은 종류의 카드 연속될 경우로 그 확률은 약 0.000014이다.
로얄 스트레이트 플러시 같은 종류의 카드로 에이스, 킹, 퀸, 잭과 10이 모일 경우로 약 0.00000154이다.
표 만들기
「표 만들기」란 주어진 문제의 자료들을 표로 나타냄으로써 그 자료들을 한눈에 볼 수 있을 뿐만 아니라, 그 답을 직접 구할 수도 있는 문제 해결의 중요한 전략이다.
「표 만들기」전략은 어떤 문제의 답을 직접 구하는 데 뿐만 아니라, 「예상과 확인」,「규칙성 찾기」 등의 전략을 쓸 때, 자료를 조직화하는 데도 유용하다.
표를 만들 때에는 어떤 가능한 해가 빠지지 않도록 주의하여야 한다.
다음 문제를 「표 만들기」 전략을 사용하여 해결해 보자.
문제
오른쪽 그림과 같은 과녁이 있다. 화살을 세 번 쏘아
모두 과녁을 맞힐 때, 세 번 쏜 총점수의 경우의 수를 구하
여라.
풀이
표를 만들어 보자
7점
3번
2
2
2
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5점
0번
1
0
0
2
0
0
1
1
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
3점
0번
0
1
0
0
2
0
1
0
1
0
1
0
1
2
0
3
2
1
0
1점
0번
0
0
1
0
0
2
0
1
1
0
0
1
1
0
2
0
1
2
3
총점
21점
19
17
15
17
13
9
15
13
11
15
13
11
9
11
7
9
7
5
3
따라서, 점수는 21, 19, 17, 15, 13, 9, 7, 5, 3의 10가지의 경우가 있다.
문제
주머니 3개에 동전 8개를 넣는데, 각각의 주머니에 동전의 숫자를 모두 다르게 넣으려고 한다. 몇 가지의 방법이 있겠는가? (단, 각각의 주머니에 동전을 1 개 이상씩 넣기로 한다.)
풀이
첫 번째 주머니를 A, 두 번째 주머니를 B, 세 번째 주머니를 C라고 하면,
주머니
동전의 수
A
1
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
B
2
3
4
5
1
5
1
4
1
3
1
2
C
5
4
3
2
5
1
4
1
3
1
2
1
위의 표와 같으므로, 모두 12가지의 방법이 있다.
100점을 맞을 확률은?
공부를 하지 않고 시험을 봐서 100점을 맞을 수 있다면 얼마나 좋을까?
과연 가능할까?
그럼 지금부터 알아 보기로 하자.
20문제가 출제되는 5지 선다형 수학시험에서 문제를 풀지 않고 답지에 답만 표시하였다면 50점 이상 맞을 확률은 총 20문항 중에서 10문항 이상을 맞추어야 하므로 약 0.0026정도의 값이 나온다.
우리 학교 전체 학생 수가 500명이라고 하면 약 1.3명 정도만이 50점 이상의 점수를 맞을 수 있다.
그렇다면 100점 맞는 학생은 우리반에 몇 명이나 될까?
각각의 문제는 5지선다형이므로 맞을 확률은 1/5이고 1번 문제부터 20번 문제까지 틀리지 않고 모두 맞추어야 하므로
즉, 약 95조 명 중에서 한 명만이 100점을 맞을 수 있다.
지구의 총 인구가 약 55억 명이니까 지구의 모든 사람이 문제를 풀지 않고 답만 표시하여 100점을 맞을 확률은 없다고 보아도 무방할 것이다.
즉, 공부를 안 하고 좋은 점수를 맞는다는 것은 거의 불가능하므로 여러분은 열심히 공부해야겠죠?
앞면이 나올 확률이 0.5가 되지 않는 동전
우리나라 100원짜리 동전은 대개 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률이 모두 0.5이지만, 세계의 동전 중에 는, 이 확률이 0.5가 되기 어려운 것도 있다.
예를 들면, 미국의 25센트 동전(쿼터)을 던지면 앞면이 나올 확률이 0.5보다 조금 크다고 한다. 그 이유는 앞면이 뒷면보다 요철의 정도가 심하기 때문이라 한다.
수 학 탐 험
어떤 사건이 일어날 가능성에 체계적으로 관심을 가진 사람은 수학자이자 도박사였던 카르다노(Cardano,1501∼1576)였다. 그 이후 도박에 대한 본격적 연구가 진행된 것은 17세기의 프랑스에서였다.
파스칼(Pascal, 1623∼1662)의 친구였던 드 메레(Chevalier de Mere)는 주사위 도박을 하면서 수학적으로 계산하여 많은 이익을 얻은 유명한 도박사였는데 어느날 파스칼에게 '득점'에 관련된 문제를 던졌다. 곧, 두 사람이 도박을 하는데 승부가 나기 전에 도박이 끝나게 될 경우에 판돈을 어떻게 분배해야 좋을까 하는 것이다. 각 사람마다의 점수는 그만둘 때 정해져 있으므로 이 문제는 결국 어떤 단계에서 각 사람이 이길 확률을 결정하는 것이다. 이 문제를 가지고 페르마(Fermat, 1601∼1665)와 편지를 주고 받는 과정에서 확률의 개념이 생긴 것이다.
그 후 이 개념은 19세기 초에 이르러 라플라스(Laplace, 1749∼1827)에 의하여 하나의 수학적 체계로 조직화되었다.
라플라스는 확률에 관한 책 「확률의 해석적 이론」에서 다음과 같이 정의하였다.
"어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 n가지이고, 각 경우는 같은 정도로 확실할 때, 사건 A가 일어날 경우의 수가 r가지이면, 사건 A가 일어날 확률은 r/n이다."
그런데 이처럼 경우의 수를 셀 수 없을 때는 어떻게 확률을 구할 수 있을까?
오늘 비가 올 확률이 60%라 할 때는 라플라스의 정의대로 계산한 것이 아니다. 이것은 구름 사진과 기압, 바람, 기온 그리고 그밖의 여러 조건들을 자세히 조사해서 그러한 경우에 날씨가 어떻게 변했는지 과거의 경험(통계)을 바탕으로 예측한 것이다.
그러면 이 예측에 의한 확률과 라플라스의 정의에 의한 확률은 서로 다른 것일까?
주사위를 한 번 던질 때, 4의 눈이 나올 확률을 구하면서 생각하여 보자.
주사위를 10번 던졌을 때, 4의 눈이 1번 나왔다면 4의 눈이 나올 확률은 1/10일까? 그러면 주사위를 1만번 던진다면 4의 눈은 몇 번쯤 나올까? 만약 주사위를 6만번 던졌다면 4의 눈은 1만번쯤 나와 라플라스의 정의대로 구한 확률 1/6에 가까운 값이 될 것이다. 곧, 시행횟수 n을 충분히 크게 하면서 예측을 이용하여 확률을 구하면 두 가지 방법에 의한 확률은 서로 같아진다.

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확률,   관련,   이야기,   문제,   명제,   점수