MICROWORLD 환경에 기반을 둔 중 고등학교 순열 조합 교육에 대한 제안

목차

1. 서론
1) 들어가며
2) 조합론이란 ?
3) 고등학교 교과과정의 순열 조합

2. 본론

1. Tree diagram
1-1. Tree diagram의 규칙성, 반복성.
1-2. Tile을 통한 Tree diagram 구현
2. 파스칼의 삼각형
3. 계승(factorial),순열 및 조합 계산

3. 결론

마치며

본문내용

으로서 쉽게 답에 접근할 수 있다. 이는 고등학교 과정의 '같은 것이 있는 순열의 수' 부분에서 다루는 방법 (8C3=8C5=)56와 그 결과가 같다. 물론 이 경우 문제 상황을 잘 파악하여 해당되는 공식을 바로 떠올리면 좋겠지만 그렇지 못하면 이러한 원리를 이해하기 힘들 수도 있다. 여기에서 LOGO를 적용시키면 교육적인 효과를 극대화 시킬 수 있게 된다. LOGO의 거북이의 이동을 이용해서 문제에 접근하는 것이다. A점에서 B점까지 거북이를 직접 움직이게 해보는 것이다. 물론 A에서 B점까지 거북이가 움직이게 하면 너무 많은 방법의 수가 있기 때문에 몇 번인지는 파악하기 힘들다. 하지만 A점에서 시작해서 B점에 가기 이전에 어떠한 한 점을 선택해서 그 점까지 거북이가 최단 거리로 갈 수 있는 방법을 보일 수 있도록 프로그램을 짜게 된다면 이러한 방법으로 도로망 문제에 대한 효과적인 이해를 도울 수 있다고 생각한다.
참고로 조합론에 대한 내용은 아니지만 산술 삼각형을 LOGO에 이용하면 다른 응용분야에도 사용될 수 있다. 그 예로 아래와 같은 경우를 들 수 있다.
LOGO 환경을 이용하게 되면 반복적인 그림을 쉽게 그릴 수 있다는 장점이 있다. 그래서 이러한 반복적인 작용을 이용해서 오른쪽 그림과 같은 구현은 LOGO를 통해서 쉽게 구현할 수 있다. (수업시간 중에도 삼각수와 사각수 등에 대한 LOGO의 표현가능성에 대해서 확인한 바 있다.) 오른쪽 그림에 표현한 바와 같은 환경을 LOGO를 통해서 표현하여 점의 개수를 구하는 문제를 구현할 경우 이러한 문제는 파스칼의 삼각형의 원리를 이용해서 수열 문제로까지 확장하여 생각할 수 있는 가능성을 제시해 준다.
3. 계승(factorial),순열 및 조합 계산
이번 학기 동안에 사용했던 LOGO 환경에서 사용된 연산들 중에서 대수적인 부분을 보면, 덧셈과 뺄셈, 곱셈 나눗셈이 가능했다. 하지만 우리가 이 보고서에서 다루게 되는 순열 조합 문제에서는 factorial 연산이 중요하게 사용된다. 그래서 LOGO를 통해서 순열 조합 문제를 풀기 위해서는 먼저 대수적인 순열 조합 문제에 맞는 계산이 정해져 있어야 한다고 본다. 우선은 factorial을 계산할 수 있어야 하겠고, 이러한 factorial을 가지고 있으면 combination과 permutation도 자연스럽게 계산할 수 있게 될 것이다. 그래서 오른쪽 그림과 같이 순열 조합 계산기를 LOGO 환경을 통해서 구현해보는 것이 필요할 것이라고 본다. 물론 이러한 것은 LOGO의 효과를 극대화하면서 구현한 것은 아니지만, 순열 조합 문제를 생각함에 있어서 factorial 연산의 사용과 순열 조합 계산기의 구현은 가장 기본적인 단계에서 필요한 것이라 생각한다. 따라서 무엇보다도 이러한 LOGO 자료가 구성이 된 후 순열 조합 문제에 대한 접근이 가능할 것으로 생각한다.
3. 결론
지금까지 순열과 조합 문제를 마이크로월드 환경과 연관시켜서 어떻게 하면 효과적인 교육이 이루어질 수 있을지에 대한 몇 가지 제안을 해보았다. 그 중에서 가장 중점적으로 다룬 것이 tree diagram을 이용한 LOGO에서의 구현이다. tree diagram은 순열 조합 문제를 푸는 데에 있어서 그 이해의 면이나, 정확도의 면에서 뛰어난 효과를 보이는 방법이다. 그런데 이 tree diagram은 이미 LOGO 환경에서 성공적으로 구현이 되었던 자료와 유사성을 보이며, 이에 따라 이 tree diagram도 LOGO에서 잘 구현할 수 있을 것이라는 가능성을 가져보게 한다. 그리고 tree diagram이 더 효과적으로 구현되기 위해서는 tile 명령문을 이용하는 기능을 추가시켜서 구현시켜야 더 효과적일 수 있다는 점도 생각해 볼 수 있었다. 그리고 파스칼의 삼각형의 구현도 생각해 볼 수 있었다. 이러한 파스칼의 삼각형은 순열 조합에 의해서 그 기본 구조가 유지되지만, 이를 통해서 이항정리를 이해하는데 중요하게 사용되는 원리이므로, LOGO를 통해서 파스칼의 삼각형이 이용될 수 있다는 것은 조합론의 분야에서 중요한 의미를 지닌다고 볼 수 있을 것이다. 그리고 순열 조합 계산기에 대해서 생각해 볼 수 있었는데, 지금까지 LOGO 환경에서 factorial 연산이 없었던 것에 대해서 보완을 하여 LOGO 환경에서 순열 조합 문제를 구현하기에 앞서 factorial 연산을 이용한 LOGO의 기본 환경이 먼저 이루어 져야 한다는 것을 제안하였다. 이를 통해 볼 때 순열 조합 문제는 기하와 대수의 영역이 아니므로 LOGO환경에서는 구현하기도 힘들고 교육적인 효과도 없을 것이라는 생각에 변화가 있어야 한다고 생각한다. LOGO의 사용으로 순열 조합 문제도 쉽게 이해하고 풀릴 수 있다면 이 영역에 대한 연구도 필요하다고 생각한다. 그리고 이 보고서에서 지금까지 순열 조합 문제를 LOGO 환경과 연관시켜서 제시한 이유이기도 하다.
마치며
앞에서도 언급했듯이 마이크로월드인 LOGO의 주된 사용이 기하와 대수에서만 이루어져 왔었고, 이에 대한 연구와 LOGO 환경들이 많은 데 비해서 순열 조합 문제와 관련해서 만들어진 환경들은 찾아보기가 힘들어서 아이디어를 생각해 내는 것이 힘들었다. 하지만 tree diagram을 이용한 순열 조합 문제의 접근은 LOGO 환경을 통해서 극대화 될 수 있음을 확인할 수 있었다. 그리고 순열 조합 문제 역시 LOGO를 이용해서 효율적인 수학교육이 이루어지게 할 수 있다는 가능성도 확인해 볼 수 있었다. LOGO 환경이 기하와 대수에서는 탁월한 효과를 보일 수 있음은 LOGO의 특성을 알게 되면 누구나 알 수 있고, 기대할 수 있는 부분이다. 하지만 다른 영역에서도 이러한 LOGO 환경이 활용될 수 있고, 그리고 이러한 활용으로 효과적인 교육이 이루어질 수 있다면 수학 교육 자료의 확대의 측면에서 뿐만 아니라, 거북수학이 수학의 영역에 있어서 하나의 분야로 자리 잡는 데에 큰 영향을 줄 수 있을 것이라고 본다. 요컨대, LOGO와 같은 마이크로 환경이 우리가 아직 알지 못하는 더 많은 활용분야로 확대되어 사용되어 교육 환경의 변화 및 효율적인 교육이 이루어지길 바란다.

키워드

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