확률에 대한 이해

목차

1. 확률의 기원

2. 확률의 역사적 배경

3. 확률 수학자

4. 확률의 정의

5. 확률 발달의 장애 요인

6. 생활 속의 확률

본문내용

의하여 게임을 중단해야 한다고 하면 내기 금액을 어떻게 분배해야 공평하게 분배할 수 있는가?
A. 마이어 A : B = 4 : 3 비율로 상금 배분
A. 파스칼 A : B = 3/4 : 1/4 비율로 상금 배분
경기 결과
승리자
8회 승자
9회 승자
A
A
A
A
B
A
B
A
A
B
B
B
확률의 기원
2) 주사위를 던지는 문제
Q. 6면의 주사위를 던져 나타날 수 있는 가능성을 타진하는 것이다. 모나지 않은 주사위를 던져, 적어도 한 번이 6의 눈이 나타나려면 최소한 4번 이상 던져야 한다는 것을 경험적으로 알고 있었다. 이러한 사실을 근거로 하여 2개의 주사위를 동시에 던져 같은 눈 6이 나타날 경우는 6(눈의 수) 4=24번 이상이면 가능할 것이라고 생각하여 게임을 했는데 게임에 실패하였다. 이유는?
A. 2개의 주사위를 24번 던지는 경우에 적어도 한 번 2개의 6의 눈이 나타날 확률
1-( {35} over {36} ) ^24 = 0.4914
1-( { 35} over { 36})^n > 0.5
n>=25
확률의 역사적 배경
1494년 파촐리 「summa de arithemetica」
우연의 게임 (게임이 중단되었을 경우의 상금의 분배문제 언급)
1654년 파스칼 - 페르마
주사위 문제, 분배 문제
1655년 호이겐스
확률에 관한 독자적인 논문을 처음 작성
베르누이
확률론만 다룬 저서
드므와브르, 오일러, 라플라스, 가우스
확률론 급속히 발전
1930년대 콜모고르프 「확률론의 기초」
공리론적 확률 정의
확률 수학자
1) 파스칼(Pascal, 1623-1662)
·노름에서 딴 돈을 공정하게 분배해주는 문제에서 확률론을 창안
·수학적 귀납법의 훌륭한 전형을 구성
·수의 순열, 조합, 확률과 이항식에 대한 수삼각형의 응용을 설명
… 12세 삼각형의 내각이 180도 알아냄
… 13세 피라미드 발견
… 16세 한 원뿔 곡선에 내접하는 육각형의 대변의 교점은 동일 직선 위에 있다고 발표
… 19세 최초 계산기 발명
… 21세 파스칼의 법칙 발견
… 1650년 수학과 과학 연구 중단
… 1653년 수삼각형론 저술
… 1654년 확률의 수학적 이론 건설에 기여
… 사이클로드 문제 해결로 미적분학의 초기 발전에 기여
… 1662년 생애 마감
확률 수학자
2) 페르마(Fermat, 1601-1665)
·n>2일 때
{ x}^{n }+ { y}^{n }= { z}^{n }
을 만족하는 양의 정수 x, y, z, n 은 존재하지 않는다. 이 유명한 추측은 페르마의 마지막 정리로 알려져 있다.
… 해석기하학과 확률론 창시에 공헌
… 정수론의 진보에 기여
3) 라폴라스(Laplace, 1794-1827)
·가장 뛰어난 업적은 천체역학, 확률론, 미분방정식, 측지학 분야에서 이루어짐
·확률론의 체겨화를 이룸
·1812년에 라플라스는 해석적 확률론으로 고전확률론의 체계를 완성
확률의 정의 : 「어떤 시도를 할 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 N개의 경우 중 우리들이 개대하는 사건의 경우의 수가 R개인 경우, 그 사건이 일어날 확률은 R/N이다」
확률 해석상의 정의
1) 경험적 확률 (통계적 확률)
·경우의 수를 셀 수 없는 경우에 통계를 바탕으로 확률을 구하는 일
(예) 동전의 앞면 H, 뒷면 T로 표기
횟 수
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
…
출 현 지
T
T
H
H
H
T
T
T
H
H
T
H
T
…
누적상대도수
0/1
0/2
1/3
2/4
3/5
3/6
3/7
3/8
4/9
5/10
5/11
6/12
6/13
…
확률 해석상의 정의
2) 수학적 확률 (고전적 확률)
·특별한 경험이 없이도 동일한 조건(상황) 아래서 그 결과가 똑같은 가능성으로 출현할 것이라는 가정을 바탕으로 확률을 구하는 일
(예) 모나지 않은 주사위를 던질 때, 모든 면이 나타날 가능성이 동일하다고 짐작 할 수 있다. 따라서 정육면체인 주사위를 던졌을 때 특정 면이 나타나는 확률은 1/6이라 생각할 수 있다.
3) 주관적 확률
·각 개인의 믿음의 정도(측도)에 의하거나 각 개인의 인식 정도에 따라 다양한 모양의 형태를 취하는 확률
(예) 오늘 오전에 구름이 끼었다면 오후에 비가 올 확률은 얼마나 될까?
확률 발달의 장애 요인
신성의 신비를 모독하는 행위
- 불경죄로 다스림
기독교의 출현
- 모든 것은 신의 의지에 따라 조정되는 것
확률 개념의 복잡성
- 실험과 관찰에 근거한 실세계의 물리적인 성리로 간주되는 측면
- 형식화된 개념적 사고에서의 논리적 측면
- 개인적인 생각과 독립된 객관적인 측면
- 실용적인 측면
- 개인적인 의견이나 판단 및 경험이 내포된 주관적인 측면
생활 속의 확률
1) 로또 복권의 확률
Q. 로또(1부터 45까지의 숫자 중에서 6개의 숫자를 맞추는 게임으로 순서 상관 없음)게임의 각 등수별 확률은?
A.
·1등 6개 숫자 일치 (보너스숫자 제외) - 1/8,145,060
{6 5 4 3 2 1} over {45 44 43 42 41} = {720} over {5,864,443,200} = {1} over {8,145,060}
·2등 6개 숫자 중 5개 숫자 일치+1개 보너스 숫자 일치 - 1/357,510
·3등 5개 숫자 일치 (보너스 숫자 제외) - 1/34,808
·4등 4개 숫자 일치 (보너스 숫자 제외) - 1/733
·5등 3개 숫자 일치 (보너스 숫자 제외) - 1/45
생활 속의 확률
2) 확률로 계산해 보는 인연
Q. 모두 50명인 한 반에서 생일이 같을 확률은 몇 %나 될까요?
A. 50명 중 1번 학생이 365일 중 임의의 날이 생일
2번 학생이 1번 학생과 생일이 다를 확률은
{365-1}over{365}=1-{1}over{365}
3번 학생이 1, 2번 학생과 생일이 다를 확률은
{365-2}over{365}=1-{2}over{365}
··········
365일 중 서로 다른 날짜를 뽑을 확률은
(1-{1}over{365}) (1-{2}over{365}) (1-{3}over{365}) ··· (1-{49}over{365}) = 0.029
(2.9％)
생일 같은 학생이 있을 확률은 97%가 넘는다.

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확률,   파스칼,   페르마,   라폴라스