[과외]고등 수학 명제편 03

목차

문제61~97

본문내용

⑤
93. 두 조건 의 진리집합을 각각 라 할 때
[휘문, 한영외]
인 관계식이 성립한다. 다음 중 옳은 것은?
① 는 이기 위한 충분조건이다.
② 는 이기 위한 필요조건이다.
③ 는 이기 위한 필요충분조건이다.
④ 는 이기 위한 조건도 이다.
⑤ 가 참이면 는 거짓이다.
94. 인 것은 이기 위한 충분조건일 때, 상수 의 값을 구하여라
[현대, 영동]
95. 다음 명제 중 거짓인 것은?[서초, 상문]
① 이면 또는 이다.
② 이면 또는 이다.
③ 이면 또는 이다.
④ 정수 에 대하여 가 홀수이면 또는 는 홀수이다.
⑤ 또는 이면 이다.
96. 실수 에 대하여 두 조건 을 만족하는 진리집합을 각각 라 하자.
이기 위한 충분조건일 때, 의 범위를 구하면?[단대부, 가락]
① ② ③ ④ ⑤
97. 실수 전체의 집합의 부분집합 가 조건 「이면 이다.」를 만족한다. 다음 중 항상 옳은 것은[진선여, 개포]
① 이면 이다.
② 가 유한집합이면 이다.
③ 가 무한집합이면 이다.
④ 이고 이면 이다.
⑤ 이고 이면 이다.
61. ③
에서는 와의 공통 부분 이외에는 아무런 정보가 없다.
따라서 ①, ②, ⑤는 답이 될 수 없다. 또,
이므로
62. 2
두 조건 를 만족하는 집합을 라 하면 이므로 오른쪽 그림에서
따라서, 구하는 값은 2이다.
63. ②
64. ⑤
(ㄱ)
(ㄴ)
(ㄷ)
(ㄹ)
(ㅁ)
65. ①
66. ①
도 실수이므로,
67. 의 최대값 -1, 의 최대값 5
라 하면
이기 위해서는
이기 위해서는
68. ②, ③
① ② ③
④ ⑤
그런데 (
69. ④
① 이면 이지만
∴ 필요조건
② 이면 이지만
∴ 필요조건
③ 일 때,
일 때,
∴ 아무 조건도 아니다.
④
에서
∴ 필요충분조건
⑤ 이면, 이므로
일 때,
일 때,
즉 이면
일 때,
일 때,
∴ 아무 조건도 아니다.
70. ③
임은 명백하다.
인
경우에도 는 참이므로 는 참이 아니다.
따라서, 는 이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.
한편, 이면
같은 방법으로 이므로
따라서, 와 는 동치이다.
즉, 는 이기 위한 필요충분조건이다.
71. ②
학교를 다니는 학생
성적이 우수한 학생
그러나 가 참이다.
그러나 는 가 참이라 해도 반드시 참이 되는 것은 아니다.
72. ⑤
조건 를 만족하는 집합을 각각 라 하면
I.
이므로 는 이기 위한 충분조건이다.
II.
이므로 는 이기 위한 필요조건이다.
III. 또는
또는
이므로 는 이기 위한 충분조건이다.
이 경우도 는 이기 위한 필요조건이다.
IV.
이기 위한 충분조건이다.
73. ②
이므로
가 되게 하는 는
따라서 의 최대값은 -1이다.
74. ④
이어랴 한다.
에서
75. ②
일 때는 성립하지 않는다.
따라서 (ㄴ)에 알맞은 말은 필요조건
76. ③
와 이 공유점을 갖기 위해서는
i) 일 때,
ii) 일 때,
iii) 일 때,
77. ⑤
① 를 만족하는 실수 가 존재하면
이므로
② 일 때, 로 놓으면
를 만족한다.
③ 를 만족하는 실수 가 있으면 이므로
④ 이므로
⑤ 이라 해도 이면
이므로
가 성립한다.
78. ③
① 직선 가 원점을 지나지 않으면 이다.
따라서, 대우는 거짓이다.
② 역 : 2개의 대각선의 길이가 서로 같은 사각형은 직사각형이다.
③ 주어진 명제는 참이므로 그 대우도 참이다.
역 : 는 단 한 개의 값에 대하여 성립하건, 의 값이 하나도 존재하지 않는다.
따라서, 역도 참이다.
④ 이지만
⑤
79. ⑤
이면 은 일치할 수도 있다.
따라서, 이기 위한 충분조건이 아니다.
즉, 이기 위한 필요조건이 아니다.
80. ②
이 6의 배수이다.
가 3의 배수이다.
로 놓고 조건 를 만족시키는 집합을 각각 라 하면
(단, 는 자연수 전체의 집합)
그런데
I. II.
III. IV.
따라서, I, II, III이 동치이다.
81. ⑤
다음 네 가지 명제를 생각한다.
가 보균우이다.
가 보균우이다.
가 보균우이다.
두 마리가 보균우이다.
이 때,
I.
II.
III.
IV.
(i) 가 보균우이면 두 마리가 보균우이다. (∵ II)
그런데 III< V에서 세 마리 모두 보균우이므로 모순이다.
82. 20
이려면 오른 쪽 그림에서 원점과 직선과의 거리는
이므로
이므로
따라서, 이므로
83. ④
조건 의 진리집합이 각각 이므로
와 동치이다.
또,
84. 1
I. 이고,
II. 이고,
(참)
III. 이고,
IV 이고,
82. ③
'모든 에 대하여 이다.‘의 부정은 ’어떤 에 대하여 이다.‘이므로 주어진 명제의 부정은 ’어떤 중학생은 고등학고에 가지 않는다‘이거나 ’고등학교에 가지 않는 중학생도 있다‘이다.
86. ③
‘두 과목을 모두 잘 하는 학생이 있다.’의 부정은 ‘모든 학새이 두 과목을 모두 잘 하지 않는다’이므로 주어진 명제의 부정은 ‘어떤 학급은 모든 학생이 두 과목을 모두 잘 하지는 않는다.’는 의미를 갖는 명제를 골라야 한다.
87. ①
따라서, 모든 자연수 에 대하여 이 참이려면 이 모두 참이어야 한다.
88. ④
I.
II.
III.
IV.
89. ④
① : 필요조건
② : 아무 조건도 아니다.
③ : 필요충분조건
④ : 충분조건
⑤ : 아무 조건도 아니다.
90. ⑤
이면 이다.
그러나 이고 은 아니다.
91. ①
에서
ㄱ. 에서
∴ 참
ㄴ. 에서
∴ 참
ㄷ. (반례) 일 때,
∴ 거짓
ㄹ. 이라 하면
에서
또는 ∴ 거짓
92. ③
집합 와 직선 이 공유점을 갖기 위해서는
(i) 일 때,
(ii) 일 때,
(iii) , 일 때
의 절편, 즉 중 적어도 양수이어야 한다.
따라서 (i), (ii), (iii)을 좌표평면 위에 나타내면 그림의 빗금 친 부분과 같다.
또한, 을 나타내면 그림의 점 찍은 부분과 같으므로 은 충분조건이 된다.
93. ②
따라서 이기 위한 필요조건이다.
94. ③
이 참이므로
대우 도 참이다.
그러므로 에서
95. ⑤
이지만
이다.
96. ②
가 참이므로
97. ②
①이면
그러나 임은 알 수 없다.
② 이면 이므로 는 무한집합이다.
④ 이면 (은 자연수)
이면 (은 자연수)
⑤ 이면 (은 자연수)
이면 (은 자연수)내신문제연구소

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집합,   최대,   최소,   유리수,   무리수