[과외]고등 수학 수와 식 03

목차

문제61~90

본문내용

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①
②
③
④
⑤
71. 이 홀수일 때, 을 간단히 하면?[장충, 보성여]
① ② 0③ ④ ⑤
72 를 만족하는 실수 에 대하여 의 값을 구하여라
[이화여, 명지여]
73. 복소수 의 덧셈에 대한 역원을 의 곱셈에 대한 역원을 라 할 때, 의 값은? (단, 는 인 실수)[서울과학, 한성과학]
① -4② 4③ 2④ ⑤
74. 일 때, 의 값은?[환일, 경기]
① 0② 1③ 2④ 3⑤ 4
75. 에서 가 실수일 때, 실수 의 값을 구하여라.
76. 실수 전체의 집합에서 두 순서쌍이 같다는 것은
임을 뜻한다. 두 순서쌍에 대한 연산 을
로 정의할 때, 연산 에 대한 의 역원은?
[대성, 서울외]
① (0, 0)② (1, 0)③ (0, 1)
④ (-1, 0)⑤ (0, -1)
77. 좌표평면 전체의 집합 의 두 부분집합
에 대하여 다음 중 옳은 것은?[경희, 위문]
① ② ③
④ ⑤
78. 에 대한 방정식 이 실근을 가질 때, 실수 의 값은?
[한영여, 장훈]
① -1 또는 1② -5 또는 -7③ 0 또는 2
④ 2 또는 4⑤ 3 또는 6
79. 복소수 의 덧셈에 대한 역원을 , 곱셈에 대한 역원을 β라 할 때, αβ의 값은?
[강동, 관악]
① -1② 1③ -2④ 2⑤ 0
80. 서로 다른 세 복소수로 이루어진 집합 이 다음 두 조건을 만족한다고 한다.
[배명, 반포]
<조건>
㉮
㉯
<보기>
I. 의 세 원소의 합은 0이다.
II. 의 세 원소의 곱은 1이다.
III. 세 복소수의 제곱의 합은 0이다.
① I② II③ I, II
④ II, III⑤ I, II, III
81. 를 만족시키는 복소수 α, β에 대하여 α+β의 값이 실수일 때, α+β의 값들의 합은?[건재부, 청담]
① -2② -5③ 0④ 9⑤ 10
82. 방정식 의 한 근을 ω라 하고, 이라 할 때, 의 값은? (단, 의 켤레복소수이다.)[신일, 대광]
① -1② -2③ 1④ 2⑤ 3
83. 1 부터 100까지의 자연수 중에서 60과 서로 소인 것의 개수를 구하면?[선일여, 경동]
① 26② 29③ 36④ 50⑤ 53
84. 1에서 2000까지의 자연수 중에서 양의 약수의 개수가 홀수인 것의 개수를 구하면?
[양천, 영등포]
① 40②42③ 44④ 46⑤ 48
85. 100이하의 양의 정수 에 대하여 을 7로 나누면 2가 남고, 을 11로 나누면 4가 남는다.
이러한 조건을 만족하는 의 개수를 구하면?[숭의여, 동대부]
① 3② 4③ 6④ 8⑤ 10
87. 실수 전체의 집합 에서 임의의 두 수 에 대하여 연산 를 로 정의할 때, 에 대한 역원이 없는 원소는?[세종, 금란여]
① -1② 0③ 1④ 2⑤ 무수히 많다.
88. 집합 는 사칙연산 중 어느 연산에 대하여 닫혀 있는가?[숙명여, 강동]
① 곱셈
② 덧셈, 뺄셈
③ 덧셈, 곱셈
④ 덧셈, 뺄셈, 곱셈
⑤ 덧셈, 곱셈, 나눗셈
89. 번분수식 을 간단히 하면?[예일여, 인창]
① ② ③
④ 1⑤
90. 방정식 일 때, 의 값은?[경성, 명지]
① -2② -1③ 1④ 100⑤
61. ③
I. 에서 이면 는 정수가 된다. (참)
II. (거짓)
III. 는 무리수가 아니다. (거짓)
IV. (참)
V.
는 정수) (참)
62. ③
그런데 은 짝수이고 은 홀수이므로 (짝수=홀수)가 되어 모순이다.
따라서, 는 무리수이다.
63. ①
에서
64. ⑤
그런데 에서
㉠
에서
즉
㉡
㉠, ㉡에서
65. ③
라 하면
그러므로
따라서 최소공배수는
66. ④
일 때,
또 일 때,
67. ④
68.
(는 실수)라 하면
㉠
㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
69. ⑤
70. ④
71. ④
72.
에서
즉,
㉠
㉡
㉡을 ㉠에 대입하면,
일 때,
이것을 ㉡에 대입하면,
73. ④
㉠
㉡
㉠㉡하면,
74. ⑤
양변을 제공하면,
또, (x+1)(x^2 -x+1)=0
즉,
75.
가 실수이려면,
이 순허수가 되어야 한다.
76. ⑤
먼저 연산 에 대한 항등원을 라 하면
에서
이 두 식은 임의의 에 대하여 성립하므로 항등식의 성질에 의하여
그러므로, (0, 1)의 역원을 라 하면
에서
따라서 구하는 역원은 (0, -1)이다.
77. 3
집합 의 임의 원소 에 대하여 라 하면
이 때, 좌변은 유리수이고, 우변은 무리수가 되어 모순이다.
따라서, 이다.
마찬가지로 집합 의 임의의 원소는 에 속하지 않는다.
78. ②
주어진 방정식이 실근을 가지므로 그 실근을 라 하면
㉮
㉯
㉯에서
i) 일 때, ㉮에서
ii) 일 때, ㉯에서
79. ①
의 덧셈에 대한 역원을 α, 곱셈에 대한 역원을 β라 하면,
이므로,
80. ⑤
이라 하고, 의 임의의 원소를 라 하면, 는 서로 다른 원소이고, 그런데
81. ③
㉠
가 실수이므로 αβ도 실수이다.
라 하면, ㉠에서
의 값들의 합이 0이므로 의 값들의 합이 0이다.
82. ⑤
에서
따라서, 한 근을 ω라 하면 다른 한 근은 ω이다.
ω+ω=-1, ωω=1이므로,
83. ①
이므로 어떤 자연수가 60과 서로 소이기 충분조건은 그 수가 2 또는 2 또는 5의 배수가 아닌 것을 1 부터 100까지의 자연수 중에서 의 배수들의 집합 구하는 개수는
84. ③
자연수 이 으로 소인수분해되면의 양의 약수의 개수는
(개) …… ㉠
그런데 ㉠이 홀수가 되려면
이 모두 홀수이어야 하므로, 는 모두 짝수이어야 한다. 따라서 의 약수의 개수가 홀수이면 은 완전제곱수, 즉 어떤 자연수의 제곱이다. 1 에서 2000까지의 자연수 중에서 완전제곱수를 구해보면
이므로 44개이다.
85. ②
(단, 는 음이 아닌 정수) ㉠
라 하면
을 11로 나누면 나머지가 4이므로
은 11의 배수이다. 따라서, 이 11의 배수이어야 한다.
이고, 이 때, 이므로
따라서, 구하는 의 개수는 4개이다.
86. ②
의 양변을 으로 나누면
그런데
이므로
87. ①
항등원을 라고 하면 에서
일 때, 가 존재하지 않는다.
따라서 역원이 없는 의 값은 -1
88. ①
그러므로 곱셈에 대하여만 닫혀 있다.
89. ③
(준식)
90. ②
주어진 조건 의 양변에 을 곱하면
로 고칠 수 있으므로
또한,
이것을 에 나누면
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집합,   무리수,   연산,   다항식,   복소수